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第15课时二次函数的应用考点一建立二次函数模型解决问题考点聚焦常见类型关键步骤抛物线型问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.考点二图象信息类问题1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.对点演练题组必会题1.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=12gt2(g≈9.8),则s与t的函数图象大致是()图15-1B2.如图15-2,一边靠校园围墙(墙足够长),其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD的面积最大,则x的值为()A.40B.30C.20D.10图15-2C3.一个小球向斜上方抛出,它的行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系式是y=-x2+4x+1,则小球能到达的最大高度是m.54.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-190(x-30)2+10,则高尔夫球第一次落地时距离运动员m.60考向一二次函数在销售、加工等方面的应用例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-3所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式.图15-3(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图15-3解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(30,100),(45,70)分别代入一次函数表达式,得100=30𝑘+𝑏,70=45𝑘+𝑏,解得𝑘=-2,𝑏=160,故y与x之间的函数关系式为y=-2x+160.例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-3所示.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?图15-3解:(2)由题意得,w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250.∵-20,故当x55时,w随x的增大而增大,而30≤x≤50,∴当x=50时,w有最大值,此时,w=1200,故销售单价定为50元时,才能使销售该商品每天的利润最大,最大利润是1200元.例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-3所示.(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图15-3解:(3)由题意得,(x-30)(-2x+160)≥800,解得40≤x≤70,∴每天的销售量y=-2x+160≥20,∴每天的销售量最少应为20件.【方法点析】求解此类问题,关键是根据题意和相关公式得出相应的函数表达式,注意自变量的取值范围.|考向精练|[2018·安徽]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=19(50-x)=-19x+950.[2018·安徽]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?解:(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950(0x≤50,且x为整数).∵-20,-412×(-2)=414,∴当0x414时,W随x的增大而增大;当414x≤50时,W随x的增大而减小.又∵x取整数,故当x=10时,W最大.最大总利润=-2×102+41×10+8950=9160(元).考向二用二次函数解决抛物线形实际问题例2[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图15-4,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.图15-4(1)当a=-124时:①求h的值;②通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到点O的水平距离为7m,离地面的高度为125m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.图15-4解:(1)①把(0,1),a=-124代入y=a(x-4)2+h,得1=-124×16+h,解得h=53.②把x=5代入y=-124(x-4)2+53,得y=-124×(5-4)2+53=1.625.∵1.6251.55,∴此球能过网.例2[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图15-4,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.图15-4(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到点O的水平距离为7m,离地面的高度为125m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.解:(2)把(0,1),7,125分别代入y=a(x-4)2+h,得16𝑎+ℎ=1,9𝑎+ℎ=125,解得𝑎=-15,ℎ=215.∴a=-15.【方法点析】利用二次函数解决抛物线形问题,一般需先根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐标系,设出合适的二次函数的表达式,再把实际问题中的已知条件转化为点的坐标代入表达式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.1.[2019·山西9题]北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图15-5所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A.y=26675x2B.y=-26675x2C.y=131350x2D.y=-131350x2|考向精练|图15-5[答案]B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2.由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得:-78=a×(-45)2,解得a=-26675,∴二次函数的表达式为y=-26675x2.故选B.2.[2013·山西18题]如图15-6是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为拱桥底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为m.图15-6[答案]48[解析]如图所示,建立平面直角坐标系.设AB与y轴交于点H.∵AB=36m,∴AH=BH=18(m).由题可知OH=7m,CH=9m,∴OC=9+7=16(m),设该抛物线的解析式为y=ax2+k.∵顶点C(0,16),∴抛物线的解析式为y=ax2+16,代入(18,7),∴7=18×18a+16,∴7=324a+16,∴324a=-9,∴a=-136,∴y=-136x2+16,当y=0时,0=-136x2+16,∴-136x2=-16,∴x2=16×36=576,∴x=±24,∴E(24,0),D(-24,0),∴OE=OD=24m,∴DE=OD+OE=24+24=48(m).3.[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-7所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.图15-7(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-7解:(1)∵抛物线的顶点为(3,5),∴设y=a(x-3)2+5.将(8,0)代入得a=-15,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5,即y=-15x2+65x+165(0x8).3.[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-7所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?图15-7解:(2)当y=1.8时,1.8=-15(x-3)2+5,解得x1=7,x2=-1(舍去).答:王师傅必须站在离水池中心7米以内.3.[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-7所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-7解:(3)由y=-15x2+65x+165可得原抛物线与y轴的交点为0,165.∵装饰物的高度不变,∴新抛物线也经过0,165,∵喷水柱的形状不变,∴a=-15.∵直径扩大到32米,∴新抛物线过点(16,0),设新抛物线的表达式为y新=-15x2+bx+c(0x16),将0,165和(16,0)代入得b=3,c=165,∴y新=-15