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第14课时二次函数的图象与性质(二)考点一二次函数图象的平移考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图14-1所示(假设h,k均为正数):图14-1【温馨提示】平移规则:上加下减,左加右减.考点二二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与系数的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向①a0开口向②bb=0对称轴为③轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴④侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑤侧上下y左右(续表)项目字母字母的符号图象的特征cc=0经过点⑥c0与y轴⑦相交c0与y轴⑧相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有⑨个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)正半轴负半轴两(续表)项目字母字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=⑩若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=⑪时,y0-1a-b+c题组一必会题对点演练1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A.y=(x+2)2-3B.y=(x+2)2+3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3A2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-2,则下列结论正确的是()A.a0B.c0C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根D.当x1时,y随x的增大而减小图14-2C3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-3所示,下列结论:①abc0;②2a+b0;③b2-4ac0;④a-b+c0.其中正确的个数是.图14-3[答案]4[解析]由二次函数图象开口向上可知a0,由“左同右异”可知b0,由图象与y轴交于负半轴可知c0,故abc0,故①正确;由图象可知,对称轴为直线x=-𝑏2𝑎1,∴𝑏2𝑎-1.∵a0,∴b-2a,∴2a+b0,故②正确;由二次函数图象与x轴有两个交点可知b2-4ac0,故③正确;当x=-1时,y=a-b+c,由图象可知,当x=-1时,y0,故④正确.题组二易错题【失分点】二次函数图象的平移出现移动方向错误;不能很好地理解a,b,c对二次函数图象的影响.4.[2018·广安]抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移方法正确的是()A.先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度[答案]D[解析]根据“左加右减,上加下减”的规律,将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到y=(x-2)2-1.5.[2018·枣庄]如图14-4是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()A.b24acB.ac0C.2a-b=0D.a-b+c=0图14-4[答案]D[解析]由图象与x轴有两个交点可知b2-4ac0,即b24ac,A错误;由图象的开口向上可知a0,与y轴交于负半轴可知c0,∴ac0,B错误;由对称轴为直线x=1得-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a,2a-b=2a-(-2a)=4a0,∴C错误;由二次函数图象的对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0),∴a-b+c=0,∴D正确.故选D.考向一抛物线的平移例1[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2D|考向精练|1.[2016·山西8题]将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到抛物线的表达式为()A.y=(x+1)2-13B.y=(x-5)2-3C.y=(x-5)2-13D.y=(x+1)2-3[答案]D[解析]将抛物线的解析式化为顶点式为y=(x-2)2-8,将其向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到抛物线的解析式为y=(x+1)2-3.故选D.2.[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)·(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位[答案]B[解析]∵y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,∴顶点坐标是(-1,-16).∵y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,∴顶点坐标是(1,-16).∴将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5).故选B.考向二二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系例2抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图14-5,下列结论:①4acb2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c0;④当y0时,x的取值范围是-1≤x3;⑤当x0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个图14-5[答案]B[解析]∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2-4ac0,∴①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(-1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3,∴②正确;∵对称轴x=-𝑏2𝑎=1,即b=-2a,而x=-1时,y=0,即a-b+c=0,∴a+2a+c=0,即3a+c=0,∴③错误;∵抛物线与x轴的两交点坐标为(-1,0),(3,0),∴当-1x3时,y0,∴④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x1时,y随x的增大而增大,∴⑤正确.故选B.【方法点析】求解此类问题的一般步骤:(1)判定a的符号:开口向上,则a0;开口向下,则a0;(2)判定b的符号:对称轴在y轴左侧,则a,b同号;对称轴在y轴右侧,则a,b异号;(3)判定c的符号:交点在y轴正半轴上,则c0;交点在y轴负半轴上,则c0;(4)根据a,b,c的符号判定ab,bc,ac,abc的符号;(5)根据抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的大小关系;(6)特殊等式(或不等式)的判断:a+b+c(或4a+2b+c)为x=1(或x=2)时的y值,a-b+c(或4a-2b+c)为x=-1(或x=-2)时的y值,根据抛物线上相应点的位置判断其符号.|考向精练|1.[2019·凉山州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图14-6所示,有以下结论:①3a-b=0;②b2-4ac0;③5a-2b+c0;④4b+3c0.其中错误结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图14-6[答案]A[解析]根据对称轴-𝑏2𝑎=-32得b=3a,故可得3a-b=0,∴结论①正确;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac0,∴结论②正确;根据结论①可知b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知a0,c0,∴5a-2b+c=-a+c0,∴结论③正确;根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两点),∴当x=1时,y=a+b+c0.∵a=13b,∴43b+c0,∴4b+3c0,∴结论④错误.故选A.2.[2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc0;②3a+c0;③(a+c)2-b20;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个图14-7[答案]C[解析]①∵抛物线开口向上,∴a0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴b0.∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c0,∴abc0.∴①错误.②当x=-1时,y0,∴a-b+c0.∵-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a,把b=-2a代入a-b+c0中,得3a+c0,∴②正确;③当x=1时,y0,∴a+b+c0,当x=-1时,y0,∴a-b+c0,∴(a+b+c)(a-b+c)0,∴(a+c)2-b20,∴③正确;④∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x=1时,函数的最小值为a+b+c,∴a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤m(am+b),∴④正确.故选C.考向三二次函数的图象与性质的综合运用例3如图14-8,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解为.(2)求抛物线的表达式(用两种方法).(3)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.(4)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.(5)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-8x1=-1,x2=3例3如图14-8,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(2)求抛物线的表达式(用两种方法).图14-8解:(2)(答案不唯一)方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).又∵抛物线过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.方法二:∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,∴𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=3,解得𝑎=-1,𝑏=2,𝑐=3.∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.例3如图14-8,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(3)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.图14-8解:(3)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4),对称轴为直线x=1.例3如图14-8,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(4)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.图14-8解:(4)如图,连接BC,交直线l于点P,则点P为使△PAC的周长最小的点.设直线BC的解析式为y=kx+n.将B(3,0),C(0,3)分别代入,得3𝑘+𝑛=0,𝑛=3,解得𝑘=-1,𝑛=3.∴直线BC的解析式为y=-x+3.∵对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=2,即点P的坐标为(1,2).例3如图14-8,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(5)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-8解:(5)∵点M在直线x=1上,∴设M(1,m),且A(-1,0),C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10.∵△MAC为等腰三角形,∴有MA=MC,MA=AC和MC=AC三种情况.①若MA=MC,则MA2=MC2,即m2+4=m2-6m+10,解得m=1,此时点M的坐标为(1,1);②若MA=AC,则MA2=AC2,即m2+4=10,解得m=±6,此时点M的坐标为(1,