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第13课时二次函数的图象与性质(一)考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.y=ax2+bx+ca≠0考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤向下向上x=-𝒃𝟐𝒂(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0顶点坐标⑥增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”增大减小增大减小(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小,|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最⑪值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最⑫值,y最大值=4ac-b24a小大考点三二次函数图象的画法一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:(1)画对称轴;(2)确定顶点位置;(3)确定与x轴,y轴的交点位置;(4)确定与y轴的交点关于对称轴的对称点;(5)用平滑的曲线连接上述各点.考点四二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:⑬.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是⑭.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为⑮.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)考点五二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个⑯的实数根1个b2-4ac=0两个⑰的实数根没有b2-4ac0⑱实数根没有相等不相等2.二次函数与不等式的关系ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0)的解集:函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴⑲(或⑳)的部分对应的点的横坐标的取值范围.上方下方题组一必会题对点演练1.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)A2.抛物线y=2x2-22x+1与两坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.3C3.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为()A.3B.4C.5D.64.在抛物线y=-x2+2x-3中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x-1B.x1C.x1D.x-1CB5.[2018·山西9题]用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-25B题组二易错题【失分点】表达式中x2的系数含有参数时,注意分类讨论系数是否可以为0;忽视自变量的取值与对最值的影响.6.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.[答案]0或-1[解析]令y=0,则kx2+2x-1=0.∵关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,∴关于x的方程kx2+2x-1=0只有一个根或有两个相等的根.①当k=0时,2x-1=0,即x=12,∴原方程只有一个根,∴k=0符合题意.②当k≠0时,Δ=4+4k=0,解得k=-1.综上所述,k=0或-1.7.当-2≤x≤4时,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.160考向一二次函数的图象与性质例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(1)画出该二次函数的图象;(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?(4)若点P1(1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)都在该二次函数的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.解:(1)二次函数的图象如图所示.例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;解:(2)∵y=-12x2+x+4=-12(x-1)2+92,∴抛物线开口向下,顶点坐标为1,92,对称轴为直线x=1.例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?解:(3)当x1时,y随x的增大而增大;当x1时,y随x的增大而减小.例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(4)若点P1(1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)都在该二次函数的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.解:(4)因为P1在对称轴上,P2,P3都在抛物线对称轴的右侧,且135,所以y1y2y3.【方法点析】(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标有两种方法:①配方法;②公式法,顶点坐标为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.(2)抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种:①把各点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性进行比较大小;②计算出相应点的纵坐标,然后比较大小;③图象法,利用图象的直观性.|考向精练|1.[2011·山西12题]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-1所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是()A.ac0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3C.2a-b=0D.当x0时,y随x的增大而减小图13-1B2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-2所示,若点A(-4,y1),B(2,y2)是它的图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A.y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不能确定图13-2C3.[2019·烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0x4时,y0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1x2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5x-10234y50-4-30[答案]B[解析]根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确;由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确;由抛物线可以看出当0x4时,y0,所以结论③错误;由图象可以看出,当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1x2,也有可能x1x2,所以结论⑤错误.故选B.4.[2017·兰州]如图13-3,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则点Q的坐标为.图13-3[答案](-2,0)[解析]∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,∴P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,∴点Q的坐标为(-2,0).故答案为:(-2,0).5.已知函数y=-13x2+43x+53.(1)把y=-13x2+43x+53配方成y=a(x-h)2+k的形式;(2)求函数图象的顶点M的坐标、对称轴和函数的最值;(3)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标;(4)作出函数图象,根据图象指出x取什么值时y0;(5)求△AMB的面积.解:(1)配方,得y=-13x2+43x+53=-13(x-2)2+3.5.已知函数y=-13x2+43x+53.(2)求函数图象的顶点M的坐标、对称轴和函数的最值;解:(2)由(1)得,函数图象的顶点M的坐标为(2,3),对称轴为直线x=2,当x=2时,y取得最大值3.5.已知函数y=-13x2+43x+53.(3)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标;解:(3)令y=0,得-13(x-2)2+3=0.解得x=5或x=-1.故抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0).5.已知函数y=-13x2+43x+53.(4)作出函数图象,根据图象指出x取什么值时y0;解:(4)如图所示.根据图象得-1x5时,y0.5.已知函数y=-13x2+43x+53.(5)求△AMB的面积.解:(5)连接AM,BM,如图.根据题意,得S△ABM=12·AB·yM=12×6×3=9.考向二二次函数的表达式的求解例2根据下列条件求表达式.(1)抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,0),C1,92两点,试求抛物线的表达式;(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求二次函数的表达式;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的表达式.(用两种方法)解:(1)由题意,得4𝑎-2𝑏+2=0,𝑎+𝑏+2=92,解得𝑎=12,𝑏=2.∴抛物线的表达式为y=12x2+2x+2.例2根据下列条件求表达式.(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求二次函数的表达式;解:(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0).∵二次函数的图象过点B(2,-5),∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.∴二次函数的表达式是y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.例2根据下列条件求表达式.(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的表达式.(用两种方法)解:(3)(答案不唯一)方法一:设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3).把C(0,-3)代入,得a×1×(-3)=-3,解得a=1.∴这个二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.方法二:由题意知𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=-3,解得𝑎=1,𝑏=-2,𝑐=-3.∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.【方法点析】用待定系数法求二次函数表达式的三种设法:(1)已知图象上三个点的坐标,设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0);(2)已知顶点坐标(h,k),设为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)已知图象与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0),设为交点式y=a(x-x1)·(x-x2).|考向精练|1.[2019·遂宁]如图13-4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=12𝑥(x0)的图象经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的解析式为.(填一般式)图13-4[答案]y=12x2-114x+3[解析]∵矩形OABC,C(0,3),∴