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第11课时一次函数的应用考点一次函数的应用考点聚焦1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定自变量的取值范围.1.油箱中有油20升,油从管道中匀速流出,100分钟流完.油箱中剩余油量Q(升)与流出的时间t(分)之间的函数表达式是()A.Q=20-5tB.Q=15t+20C.Q=20-15tD.Q=15t题组一必会题对点演练C2.今年五一期间,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间,设他从山脚出发后所用的时间为t(分),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图11-1,下列说法中错误的是()A.小明中途休息用了20分钟B.小明休息前爬山的速度为每分钟70米C.小明在爬山过程中所走的路程为6600米D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度图11-1C3.放学后,小明骑车回家,他经过的路程s(千米)与所用时间t(分)的函数关系如图11-2,则小明的骑车速度是千米/分.图11-20.24.一根蜡烛长30cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时蜡烛剩余的长度h(cm)和燃烧时间t(h)之间的函数关系用图象可以表示为()题组二易错题【失分点】实际问题中的变量往往有一定的限制,在描述函数表达式时必须注意自变量的取值范围,同时函数值的取值范围也因自变量的限制而受到限制,函数的图象不一定是直线.图11-3B5.超市有A,B两种型号的瓶子,其容量和价格如下表,小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满,且无剩油).当日促销活动:购买A型瓶3个或以上,一次性返还现金5元,设购买A型瓶x(个),所需总费用为y(元),则下列说法不一定成立的是()A.购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值B.购买A型瓶最多为6个C.y与x之间的函数关系式为y=x+30D.小张买瓶子的最少费用是28元型号AB单个瓶子容量/升23单价/(元/个)56[答案]C[解析]∵买瓶子用来分装15升油,瓶子都装满,且无剩油,∴购买B型瓶的个数是15-2𝑥3=5-23x.∵瓶子的个数为自然数,∴x=0时,5-23x=5;x=3时,5-23x=3;x=6时,5-23x=1.∴购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值,故A成立.由上可知,购买A型瓶的个数为0个或3个或6个,∴购买A型瓶的个数最多为6个,故B成立.①当0≤x3时,y=5x+6×5-23x=x+30,∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=0时,y有最小值,最小值为30元;②当x≥3时,y=5x+6×5-23x-5=25+x,∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=3时,y有最小值,最小值为28元.综合①②可得,购买瓶子所需要最少费用为28元.故C不成立,D成立.考向一利用一次函数进行方案选择例1[2017·衢州]五一期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据图11-4中的信息,解答下列问题:图11-4(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式;(2)请你帮助小明计算并选择合算的出游方案.图11-4解:(1)设y1=k1x+b,y2=k2x.由题意可知y1=k1x+80,且图象过点(1,95),则有95=k1+80,∴k1=15,∴y1=15x+80.由题意知y2=30x.例1[2017·衢州]五一期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据图11-4中的信息,解答下列问题:(2)请你帮助小明计算并选择合算的出游方案.图11-4解:(2)当y1=y2时,解得x=163;当y1y2时,解得x163;当y1y2时,解得x163.∴当租车时间为163小时时,选择甲、乙公司一样合算;当租车时间小于163小时时,选择乙公司合算;当租车时间大于163小时时,选择甲公司合算.1.[2019·山西19题]某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?|考向精练|解:(1)y1=30x+200,y2=40x.1.[2019·山西19题]某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?解:(2)由y1y2,得30x+20040x,解得x20,所以当x20时,选择方式一比方式二省钱.2.[2016·山西20题]我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式;(2)求购买量x在什么范围时,选择方案A比方案B付款少;(3)某水果批发商计划用20000元购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.解:(1)方案A:函数解析式为y=5.8x(2000≤x≤5000);方案B:函数解析式为y=5x+2000(2000≤x≤5000).2.[2016·山西20题]我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.(2)求购买量x在什么范围时,选择方案A比方案B付款少;解:(2)由题意,得5.8x5x+2000.解不等式,得x2500.∴当购买量x的取值范围为2000≤x2500时,选择方案A比方案B付款少.2.[2016·山西20题]我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.(3)某水果批发商计划用20000元购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.解:(3)他应选择方案B.3.[2013·山西24题]某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印刷份数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种收费方式费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图11-5.(1)甲种收费方式的函数表达式是;乙种收费方式的函数表达式是.(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?图11-5y=0.1x+6y=0.12x3.[2013·山西24题]某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印刷份数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种收费方式费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图11-5.(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?图11-5解:(2)由0.1x+60.12x,得x300;由0.1x+6=0.12x,得x=300;由0.1x+60.12x,得x300.由此可知:当100≤x300时,选择乙种方式较合算;当x=300时,选择甲、乙两种方式都合算;当300x≤450时,选择甲种方式较合算.4.[2018·湘西州]某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(1)求y关于x的函数关系式.(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0a200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.解:(1)y与x之间的函数关系式为:y=400x+500(100-x)=-100x+50000.4.[2018·湘西州]某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?解:(2)∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,∴0≤100-x≤2x.解得1003≤x≤100且x为整数.∵-1000,∴y随x的增大而减小.∴当x=34时,y最大,y最大=46600元.答:该商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元.4.[2018·湘西州]某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0a200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.解:(3)厂家对A型电脑出厂价下调a元,此时y与x之间的函数关系式为y=(400+a)x+500(100-x)=(a-100)x+50000.由于限定商店最多购进A型电脑60台,因此1003≤x≤60且x为整数.①当100a200时,a-1000,∴y随x的增大而增大.∴x=60时,y最大,此时该商店购进A型电脑60台,B型电脑40台,才能使销售总利润最大.②当a=100时,y=50000,该商店各种进货方案都使得销售总利润一样多.③当0a100时,a-1000,∴y随x的增大而减小.∴x=34时,y最大,此时该商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.考向二利用一次函数解决分段函数问题例2[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(时)的关系如图11-6所示,请结合图象解答下列问题:图11-6(1)货车的速度是千米/时;轿车的速度是千米/时,t的值为;(2)求轿车距其出发地的距离y(千米