搜索
第10课时一次函数的图象与性质考点一一次函数与正比例函数的概念考点聚焦一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,y=kx+b也就是y=kx,这时称y是x的正比例函数.正比例函数是特殊的一次函数.考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①②③二、三、四一、三、四一、二、四二、四(续表)k0k0增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤k的作用k的符号⇒直线所在象限、一次函数的增减性;|k|⇒直线的倾斜程度b的作用b的符号⇒直线与y轴交点的位置或上下平移的方向;|b|⇒直线上下平移的距离图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到,b0,向上平移b个单位;b0,向⑥平移⑦个单位与x轴的交点与y轴的交点求⑨时,对应的y值,交点坐标为(0,b)减小增大求⑧时,对应的x值,交点坐标为-𝑏𝑘,0下|b|y=0x=0【温馨提示】作一次函数图象时,当数值不复杂时一般选取两个特殊点:直线与y轴的交点(0,b),与x轴的交点-𝑏𝑘,0;画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)连线即可.考点三一次函数图象的平移简记为“左加右减,上加下减”(左右平移只给x加减,上下平移等号右边整体加减)考点四一次函数解析式的确定1.常用方法:待定系数法.2.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:(1)设:设出函数解析式的一般形式⑩;(2)列:把已知点的坐标代入解析式中,得到关于待定系数的方程(组);(3)解:解方程或方程组,求出待定系数;(4)写:将求得的k,b的值代回写出解析式.y=kx+b(k≠0)【温馨提示】只要给出一次函数图象与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为交点的纵坐标,可快速解题.如:已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,2),则可知b=2.考点五一次函数与一次方程、一元一次不等式的关系一次函数与一次方程方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑪时x的值⇔直线y=kx+b(k≠0)与⑫轴交点的横坐标一次函数与一元一次不等式不等式kx+b0(或kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑬0(或y⑭0)时x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(或下方)的部分对应的x的取值范围0x(续表)一次函数与方程组:两直线y=k1x+b1和y=k2x+b2两直线相交k1≠k2两直线平行k1=k2,b1≠b2两直线重合k1=k2,b1=b2交点坐标⇔方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2的解方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2无解方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2有无数组解题组一必会题对点演练[答案]C[解析]∵一次函数y=kx+b的图象过第一、二、四象限,∴k0,b0.故选C.1.[2018·沈阳]在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图10-1所示,则k和b的取值范围是()A.k0,b0B.k0,b0C.k0,b0D.k0,b0图10-12.[2018·常州]一个正比例函数的图象经过点(2,-1),则它的表达式为()A.y=-2xB.y=2xC.y=-12xD.y=12x3.[2018·南充]直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线的解析式是()A.y=2(x+2)B.y=2(x-2)C.y=2x-2D.y=2x+2CC4.一次函数y=-x+2的图象不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.下列描述一次函数y=-2x+5图象的性质,错误的是()A.y随x的增大而减小B.直线与x轴交点的坐标是(0,5)C.点(1,3)在此图象上D.直线经过第一、二、四象限CB6.将直线y=2x-1向左平移2个单位长度,平移后直线的表达式为.7.已知一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则k=.8.已知直线y=x+5与y轴交于A点,直线上有一点P,△POA的面积为10,点P的坐标是.题组二易错题【失分点】忽视平移方向与系数的关系而出错;忽视分类讨论或分类讨论不全而致错.y=2x+3±𝟏𝟐(4,9)或(-4,1)考向一一次函数的图象与性质例1(1)若k≠0,b0,则y=kx+b的图象可能是()图10-2B[答案](2)1[解析]因为函数y=-2x+2,所以当x1时,y0,①正确;它的图象经过第一、二、四象限,②错误;它的图象必经过点(-2,6),③错误;y的值随x的增大而减小,④错误.例1(2)对于函数y=-2x+2,下列结论:①当x1时,y0;②它的图象经过第一、二、三象限;③它的图象必经过点(-2,2);④y的值随x的增大而增大.其中正确结论的个数是.【方法点析】k和b的符号作用:k的符号决定函数的增减性:当k0时,y随x的增大而增大;当k0时,y随x的增大而减小.b的符号决定图象与y轴交点在x轴上方还是下方(上正,下负).1.[2012·山西5题]如图10-3,一次函数y=(m-1)x-3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于点A,B,则m的取值范围是()A.m1B.m1C.m0D.m0|考向精练|图10-3B2.[2018·眉山]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b上,且直线经过第一、二、四象限,当x1x2时,y1与y2的大小关系为.[答案]y1y2[解析]∵一次函数图象经过第二、四象限,∴k0,且y随x的增大而减小,∴当x1x2时,y1y2.3.已知一次函数y=kx+b-x的图象与y轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k的取值范围为,b的取值范围为.[答案]k1b0[解析]一次函数y=kx+b-x,即为y=(k-1)x+b.∵函数值y随x的增大而增大,∴k-10,解得k1.∵图象与y轴的正半轴相交,∴b0.考向二一次函数图象的平移例2将直线y=2x-1向上平移2个单位,再向右平移1个单位后得到的直线的表达式为.y=2x-1【方法点析】直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平移的规律:若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左(或向右)平移m(m0)个单位,则直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x±m)+b,其口诀是上加下减,左加右减.1.[2018·娄底]将直线y=2x-3向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为()A.y=2x-4B.y=2x+4C.y=2x+2D.y=2x-2|考向精练|[答案]A[解析]根据图象平移时左加右减、上加下减的规律,向右平移2个单位后为y=2(x-2)-3=2x-7,再向上平移3个单位后为y=2x-7+3=2x-4.故选A.2.若一次函数y=43x-b与y=43x-1的图象之间的距离等于3,则b的值为.-4或6考向三一次函数表达式的确定例3根据下列条件,确定一次函数的表达式.(1)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);(2)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.解:(1)∵图象平行于直线y=2x-1,∴k=2.设函数解析式为y=2x+b,将(1,3)代入得3=2×1+b.∴b=1.∴y=2x+1.例3根据下列条件,确定一次函数的表达式.(2)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;解:(2)∵图象与直线y=-12x+3相交于y轴上同一点,∴图象与y轴交于点(0,3).设函数解析式为y=kx+3.将(2,-1)代入得-1=2k+3.∴k=-2.∴y=-2x+3.例3根据下列条件,确定一次函数的表达式.(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.解:(3)直线y=2x+b与x轴交点的坐标为-𝑏2,0,与y轴交点的坐标为(0,b).由题意得12·|b|·-𝑏2=4.∴𝑏24=4,∴b2=16.∴b=±4.∴y=2x+4或y=2x-4.【方法点析】用待定系数法求一次函数表达式的常见类型:(1)直接把已知点的坐标代入函数表达式求解;(2)由图象得到点的坐标再代入求解,注意点的坐标与线段的长度互换关系.|考向精练|1.[2018·枣庄]如图10-4,直线l是一次函数y=kx+b的图象,如果点A(3,m)在直线l上,那么m的值为()A.-5B.32C.52D.7图10-4[解析]由题图可得直线l与坐标轴的两个交点的坐标为(0,1),(-2,0),代入到y=kx+b,求得直线l的解析式为y=12x+1,再把A(3,m)代入到直线l的解析式中,求得m的值为52.故选C.[答案]C2.如图10-5,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于B,C两点,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的表达式.图10-5解:(1)∵点A(2,0),∴OA=2.在Rt△AOB中,OB=𝐴𝐵2-𝑂𝐴2=13-4=3.∴点B的坐标是(0,3).2.如图10-5,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于B,C两点,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的表达式.图10-5解:(2)∵△ABC的面积为4,∴12BC·OA=4,∴BC=4,∴OC=BC-OB=4-3=1,∴点C的坐标为(0,-1).设直线l2的解析式为y=kx+b.把A(2,0)和C(0,-1)分别代入y=kx+b,得2𝑘+𝑏=0,𝑏=-1.解得𝑘=12,𝑏=-1.∴直线l2的解析式是y=12x-1.考向四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组)例4如图10-6,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则(1)关于x的方程x+b=kx+6的解是;(2)方程组𝑦=𝑥+𝑏,𝑦=𝑘𝑥+6的解为;(3)关于x的不等式x+bkx+6的解集是;(4)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.图10-6𝒙=𝟑,𝒚=𝟓x=3x3x3【方法点析】(1)两直线的交点坐标即两直线的表达式组成的方程组的解.(2)两函数图象交点处两函数值相等,从交点处分界,哪个图象在上方,相应自变量取值范围内的函数值相对就大.|考向精练|1.[2010·山西10题]如图10-7,直线y=kx+b交坐标轴于A(-3,0),B(0,5)两点,则不等式-kx-b0的解集为()A.x-3B.x-3C.x3D.x3图10-7A2.如图10-8,一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解是.图10-8𝒙=-𝟐,𝒚=𝟑3.[2019·滨州]如图10-9,直线y=kx+b(k0)经过点A(3,1),当kx+b13x时,x的取值范围为.图10-9[解析]当x=3时,13x=13×3=1,∴点A在一次函数y=13x的图象上,且一次函数y=13x的图象经过第一、三象限,当x3时,一次函数y=13x的图象在y=kx+b的图象上方,即kx+b13x.[答案]x3