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第9课时平面直角坐标系与函数考点一平面直角坐标系及点的坐标特征考点聚焦对应关系坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的坐标平面内的点P(x,y)(1)各象限内点的坐标的特征:点P(x,y)在第一象限⇔①;点P(x,y)在第二象限⇔②;点P(x,y)在第三象限⇔③;点P(x,y)在第四象限⇔④x0,y0x0,y0x0,y0x0,y0(续表)坐标平面内的点P(x,y)(2)坐标轴上点的坐标的特征:点P(x,y)在x轴上⇔⑤;点P(x,y)在y轴上⇔⑥;点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑦注:x轴、y轴上的点不属于任何象限平行于坐标轴的直线上的点(1)直线平行于x轴:点的纵坐标相同,横坐标为不相等的实数(2)直线平行于y轴:点的横坐标相同,纵坐标为不相等的实数各象限的角平分线上的点(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔⑧(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑨x=0,y为任意实数y=0,x为任意实数x=y=0x=yx=-y考点二坐标系中的距离点到坐标轴及原点的距离公式示意图P(x,y)到x轴|y|P(x,y)到y轴⑩P(x,y)到原点⑪|x|𝒙𝟐+𝒚𝟐(续表)两点间距离A(x1,y1),B(x2,y2)公式示意图AB∥x轴AB=|x2-x1|AB∥y轴AB=⑫A,B为任意两点AB=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2【温馨提示】平面直角坐标系中,上减下、右减左永远是正数.(“上”即上面点的纵坐标,“右”即右面点的横坐标)|y2-y1|考点三平面直角坐标系中点的平移与对称图形变换点的坐标规律平移变换左右平移P(x,y)P'(x-a,y)P(x,y)⑬上下平移P(x,y)⑭P(x,y)⑮(x+a,y)(x,y+b)(x,y-b)考点四函数的概念及自变量的取值范围1.函数的概念(1)函数:一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有⑯的值与之对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.(2)变量:某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.(3)常量:某一变化过程中保持相同数值的量叫做常量.唯一确定2.函数自变量的取值范围x≠0x≥0函数表达式的形式自变量取值范围整式型,如y=ax+b任意实数⑰⑱分式+二次根式⑲⑳实际问题中的函数解析式使实际问题有意义分式型,如y=ax二次根式型,如y=xy=axy=x+axx≥-a,且x≠0x0考点五函数的表示方法及图象1.函数的表示方法:解析式法、列表法、图象法.2.函数的图象一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每个对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.3.函数图象的画法:列表、描点、连线.题组一必会题对点演练1.在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(-3,2),则点P所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.点P(2,-5)关于x轴对称的点的坐标为.3.若点P(-2,-3)先向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得到的点的坐标为.B(2,5)(-3,0)4.函数y=𝑥-1中,自变量x的取值范围是.x≥15.[2019·陇南]中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图9-1,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位于点.图9-1(-1,1)题组二易错题【失分点】忽略横、纵坐标符号特征导致出错;确定函数的自变量的取值范围时,考虑不全.6.函数y=1𝑥-1中,自变量x的取值范围是()A.x≠1B.x0C.x≥1D.x1D7.在平面直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2.写出符合条件的点P的坐标:.[答案](2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1)[解析]∵点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2,∴点P的纵坐标绝对值为1,横坐标绝对值为2,则点P的坐标为(2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1).考向一坐标平面内点的坐标特征例1判断正误:(1)(3,2)和(2,3)表示同一个点;()(2)点(3,0)在x轴的正半轴上;()(3)点(-2,4)在第四象限;()(4)点(-3,1)到x轴的距离为3;()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×[解析](1)(3,2)和(2,3)表示两个点,所以错误;(2)点(3,0)在x轴的正半轴上,所以正确;(3)点(-2,4)在第二象限,所以错误;(4)点(-3,1)到x轴的距离为1,所以错误;例1判断正误:(5)点(1,-a)一定在第四象限;()(6)坐标轴上的点不属于任何一个象限;()(7)若点(a,b)在坐标轴的角平分线上,则a=b;()(8)在平面直角坐标系中,在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是(0,5).()[答案](5)×(6)√(7)×(8)×[解析](5)点(1,-a)一定在第四象限,错误,因为-a不一定是负数;(6)坐标轴上的点不属于任何一个象限,正确;(7)若点(a,b)在坐标轴的角平分线上,则a=b,错误,应该是a=b或a=-b;(8)在平面直角坐标系中,在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是(0,5),错误,点的坐标应该为(0,5)或(0,-5).例2[2018·咸宁]如图9-2,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为.图9-2[答案](-1,5)[解析]如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE,FO交于点O'.∵四边形OEFG是正方形,∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,∴△OGM≌△EOH(ASA),∴GM=OH=2,OM=EH=3,∴G(-3,2).∴O'-12,52.∵点F与点O关于点O'对称,∴点F的坐标为(-1,5).|考向精练|图9-31.[2012·山西18题]如图9-3,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,OC=2,则点B的坐标是.[答案](2,23)[解析]如图,连接OB,过点B作BE⊥x轴于点E.∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,∴∠CAO=30°,∴AC=4,∴OB=AC=4.由矩形的性质可知∠BOA=∠CAO=30°,∴∠OBE=180°-30°-30°-90°=30°,∴OE=2,∴BE=23,∴点B的坐标是(2,23).2.[2016·山西11题]如图9-4是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图.若建立适当的平面直角坐标系,表示双塔西街点的坐标为(0,-1),表示桃园路的点的坐标为(-1,0),则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是.图9-4(3,0)3.[2019·山西模拟]如图9-5所示的是轰炸机机群的一个飞行队形,如果其中两架轰炸机的坐标分别表示为A(-2,3)和B(2,1),那么轰炸机C的平面坐标是.图9-5(-2,-1)考向二平面直角坐标系中的平移、旋转与对称例3(1)点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是;关于y轴对称的点的坐标是;关于原点对称的点的坐标是.(2)把点A(3,-2)向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的点的坐标是.(3)把点A(3,-2)绕着原点顺时针旋转90°后对应点的坐标是.(3,2)(-3,-2)(-3,2)(1,-5)(-2,-3)|考向精练|[答案](-2,2)[解析]∵点P(4,2),∴点P到直线x=1的距离为4-1=3,∴点P关于直线x=1的对称点P'到直线x=1的距离为3,∴点P'的横坐标为1-3=-2,∴对称点P'的坐标为(-2,2).1.[2019·临沂]在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是.2.[2017·山西13题]如图9-6,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平移4个单位长度,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为.图9-6[答案](6,0)[解析]将点A平移后的对应点A'的坐标为(4,4),将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,那么点A'也将绕点B'顺时针旋转90°,所以旋转后对应的点A″的坐标为(6,0).3.[2018·绵阳]在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为()A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-3,-4)4.[2018·枣庄]在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点B'的坐标为()A.(-3,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)BB考向三函数自变量的取值范围例4[2019·岳阳]函数y=𝑥+2𝑥中,自变量x的取值范围是()A.x≠0B.x≥-2C.x0D.x≥-2且x≠0[答案]D[解析]由题意可知,x+2≥0且x≠0,解得x≥-2且x≠0.故选D.|考向精练|[答案]B1.函数y=1𝑥-3+𝑥-1的自变量x的取值范围是()A.x≥1B.x≥1且x≠3C.x≠3D.1≤x≤3[解析]根据题意,得𝑥-1≥0,𝑥-3≠0,解得x≥1且x≠3.故选B.[答案]x≥1且x≠22.[2017·安顺]在函数y=𝑥-1𝑥-2中,自变量x的取值范围是.[解析]根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,且分式的分母不为0,所以𝑥-1≥0,𝑥-2≠0,解得x≥1且x≠2.考向四函数及其图象例5下列各曲线中,不能表示y是x的函数的是()图9-7C例6[2018·宁夏]如图9-8,一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内,向容器内按一定的速度均匀注水,60秒后将容器注满.容器内水面的高度h(cm)与注水时间t(s)之间的函数关系图象大致是()图9-8图9-9[答案]D[解析]根据题意可知,刚开始时由于长方体铁块在水槽里,圆柱体底面积减小,水面上升的速度较快,水淹没长方体铁块后一直到水注满,底面积是圆柱体的底面积,水面上升的速度较慢.1.下列变化关系中,y是x的函数的是()①xy=2;②x2+y2=10;③x+y=5;④|y|=3x+1;⑤y=x2-4x+5.A.①②③⑤B.①③④⑤C.③④⑤D.①③⑤|考向精练|D2.在下表中,设x表示乘公共汽车的站数,y表示应付的票价(元).根据此表,下列说法正确的是()A.y是x的函数B.y不是x的函数C.x是y的函数D.以上说法都不对Ax/站12345678910y/元11222333443.某天早晨,王老师从家出发,骑摩托车前往学校,途中在路旁的一家饭店吃早餐.图9-10是王老师从家到学校这一过程中行驶路程s(千米)与时间t(分)之间的关系.(1)学校离王老师家多远?王老师从家到学校用了多长时间?(2)王老师吃早餐用了多长时间?(3)王老师吃早餐以前的骑车速度快还是吃完早餐以后的骑车速度快?最快时速是多少?图9-10解:(1)学校离王老师家有10千米,王老师从家到学校共用了25分钟.3.某天早晨,王老师从家出发,骑摩托车前往学校,途中在路旁的一家饭店吃早餐.图9-10是王老师从家到学校这一过程中行驶路程s(千米)与时间t(分)之间的关系.(2)王老师吃早餐用了多长时间?图9-10解:(2)王老师吃早餐用了20-10=10(分钟).3.某天早晨,王老师从家出发,骑摩托车前往学校,途中在路旁的一家饭店吃早餐.图9-10是王老师从家到学校这一过程中行驶路程s(千米)与时间t(分)之间的关系.(3)王老师吃早餐以前的骑车速度快还是吃完早餐以后的骑车速度快?最快时速是多少?图9-10解:(3)吃早餐以前的骑车速度:5÷10=0.5(千米/分),吃完早餐以后的骑车速度