（全国通用）2020高考数学 艺体生文化课 第五章 平面向量 第2节 平面向量的数量积课件

第5章平面向量第2节平面向量的数量积知识梳理1.a与b的夹角范围是[0°,180°].2.a·b=|a||b|cosθ叫做a与b的数量积.(规定0·a=)3.向量的投影:(可以是正数或0或负数)若向量a与向量b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,向量b在a方向上的投影为|b|cosθ.04.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),�a,b�=θ.(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)cosθ=121222221122xxyyxyxy精选例题【例1】(2018广东五校联考)已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a方向上的投影为3,则向量a与b的夹角为.2π633,132,9,33cos,3,3,3,3,||233π9323,cos,,,,2623π||||||.6||abmabmabmbabmabababab【答案】　【解析】因为由可得故解得故故即故向量与的夹角为3【例2】(2011新课标Ⅱ卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.222222322(2)44414||||cos45||1||||0,244102260,23?22,32||||||||||()||.ababaabbabbbbbbbbb【答案】　【解析】　两边平方有即解得或舍去所以10【例3】(2016新课标Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.222||||||2,,1120,2.abababmm【答案】【解析】　由得所以解得【例4】(2017新课标Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.222|||||||232444421cos60412,2.|23abaabbab【答案】【解析】　所以专题训练1.(2018新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.02()B22(23)11.aabaab【答案】　【解析】　2.(2018洛阳第一次统一考试)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,且(a+λb)⊥(2a-b),则实数λ的值为()A.-7B.-3C.2D.322D2π21cos1,20,32210,390,3(()(.))ababababab【答案】　【解析】　依题意得由得即解得2π32222()()0||1cos||||2||2πBB3abbabbabbabbabbabbab因为，所以，所以，【答案】　【解所以==，所以与的夹角为，】　故选析．3.(2019新课标Ⅰ卷,理)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b，则a与b的夹角为()ππ2π5πA.B.C.D.633622222121212||()()()|33232129412cos9,3.| aaeeeeeea【答案】　【解析】　解得4.(2014江西)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=.135.(2014福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()D,,2,2,4.D.MACBDOAOCOMODOBOMOAOCODOBOM【答案】　【解析】如图因为为、中点选A.B.2C.3D.4OMOMOMOMOAOBOCOD6.(2014新课标Ⅱ卷)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.52222A10,6210,|||26,44|,1.A.abababababababab【答案】　【解析】　由得两式相减得所以选1067.(2016新课标Ⅰ卷,理)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()()B1i1i,i1i,1,1,i1i2.||||xyxxyxyxxy【答案】　【解析】　因为所以所以故A.1B.2C.3D.28.(2011新课标Ⅱ卷)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=.2222()()(100,:1110)()(,1101.),abkabkaabkabbkkabkabk【答案】　【解析】由得所以有即所以9.(2010新课标Ⅱ卷)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若,|a|=1,|b|=2,则=()B1,12,,311121.333()3(3)B.ACCBADDBADABCDCAADaABaabaaCBCAb【答案】　【解析】由角平分线的性质∶∶∶所以选CD,CAaCBb12213443A.B.C.D.33335555ababababA,2,2,11,,22111222()()()()12()(CACBCFBCBABEFCCACBEBBCBAFCEBCACBBCBACACBBCBACA【答案】　【解析】　如图)()112,A.22()BAACABADAD选10.(2014新课标Ⅱ卷)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则()11A.B.C.D.22ADADBCBCEBFC()()()()A,2,1,5,5,2,15,515||,5,1535.||5BACDBACDBABACDCDBABA【答案】　【解析】依题意得因此向量在方向上的投影是11.(2018西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是()3232A.35B.C.35D.22CDBA12.若|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,则a,b的夹角是()2()()D,0,222cos,0,2πcos,,,.24abaabaaabababab【答案】　【解析】　即的夹角是25ππππA.B.C.D.1236413.(2009新课标卷)已知O,N,P在△ABC所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是△ABC的()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)||||||0()C,;,;,0,0,,,,,C.OAOBOCNANBNCPAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPBAPBCOABCNABCPABC【答案】　【解析】由知为△的外心由知为△的重心同理为△的垂心选||||||.0OAOBOCNANBNCPAPBPBPCPCPA()901,,,,,2,90.AOABACOBCOBCBCOABAC【答案】　【解析】　故三点共线且是线段的中点故是圆的直径与的夹角为14.(2014新课标Ⅰ卷)已知A,B,C为圆O上的三点,若则的夹角为.1(),2AOABACABAC与15.(2018惠州三调)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形()()()()()||A·20,0,,0,,.||OBOCOBOCOACBABACABACCBABACABACABACABC【答案】　【解析】　由得即△是等腰三角形()(2)0OBOCOBOCOA16.(2017新课标Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()22()()()()()()(B,,,0,3,1,0,1,0,,,,3,1,)()()(),1(),,33,32,222,22ABCBCxBCyABCPxyPAxyPBxyPCxyPAPBPCxyxyxy【答案】　【解析】　如图以等边三角形的底边所在直线为轴以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系则设则所以当330,,.22()xyPAPBPC时取得最小值()PAPBPC34A.2B.C.D.1232222250252||4||455||922||3cos,.||||13332cababacaabcaabbaccacac因为，，所以，，所以，所以【答案】【解析==】17.(2019新课标Ⅲ卷,理)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cosa,c=___________.5