（全国通用）2020高考数学 艺体生文化课 第十二章 选做题 第1节 极坐标、参数方程、直角坐标方程

第十二章选做题第1节极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化知识梳理1.极坐标与直角坐标互换公式:222cos,,tan.sinxyxyyx2.极坐标中的两点间距离与面积公式：（1）两个点都在过极点的直线上则（2）平面内两点与极点构成的三角形面积：则1212||||.PP22121212121212||2cos(),1|sin()|.2ABCPPS△3.常用曲线的参数方程曲线直角坐标方程参数方程直线y-y0=tanα·(x-x0)圆(x-a)2+(y-b)2=r2椭圆22221(0)xyabab00cos()sinxxttyyt为参数cos()sinxarybr为参数cos()sinxayb为参数4.直线参数方程中t的应用（如图）：（1）当P为AB中点是t1+t2=0；若P′为AB中点，则PP′=（2）直线上任意两点AB的距离为：（3）PA·PA=t1t2.12;2tt2121212||||()4;ABtttttt精选例题【例1】在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)请写出圆C的参数方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.65cos1:.5si((n))xy【解析】　圆的参数方程为为参数22cos,sin:12cos(110.)xyC由可得的极坐标方程为【例2】设直线l过点A(2,-4),倾斜角为,则直线l的参数方程为.3221425π2cos6,5π4sin63()()22.1(42)xttytxtltytxttyt【答案】　为参数【解析】　直线的参数方程为为参数即为参数5π6专题训练专题训练1写出下列直线的参数方程和极坐标方程:1.直线过点(1,0)倾斜角为45°.()212:;22π:cossin102cos1.(())4xttyt【解析】　参数方程为参数极坐标方程或2.直线过点(2,1)斜率为3.122:;312π:3cossin12302cos231.(6()())xttyt【解析】　参数方程为参数极坐标方程或4(5:;335:3cos4sin120).xttyt【解析】　参数方程为参数极坐标方程3.直线过点(0,-3)斜率为3.4212cos:;12sin:2cos2sin2.()0xy【解析】　参数方程为参数极坐标方程4.圆O的圆心为(1,1)半径为2.5.圆O的方程为:(x-1)2+(y+1)2=4.212cos:;12sin:2cos2sin2.()0xy【解析】　参数方程为参数极坐标方程6.椭圆的方程为:221.94xy222223cos:;2sin6:4cos9sin36.45si(()n)xy【解析】　参数方程为参数极坐标方程或写成专题训练21.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=(1)写出直线l的参数方程.π11,1,,6π1cos6,π()(1sin6)()(312.11)2lPxtltttxttyt【解析】　直线过点倾斜角为直线的参数方程为为参数即为参数为所求π.61.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.1211222221212122,,,3131,1,1,1,1,22224120,,2.()()()(3)||22.ABlttABAttBttlxyttttttPAPBtt因为点都在直线上所以可设它们对应的参数为和则点的坐标分别为以直线的参数方程代入圆的方程整理得到①因为和是方程①的解从而所以π.62.直线l经过P0(-4,0),倾斜角α=,l与圆x2+y2=7相交于A、B两点.(1)写出直线的参数方程,求弦长|AB|;π602221221212211212()()()()()||π14,0,,6342.,23147.4390.22,43,9,()423.lPxtlttyttttABttttttABtttttt【解析】　直线通过倾斜角可设直线的参数方程为为参数代入圆方程得整理得设、对应的参数分别为和由根与系数的关系得2.直线l经过P0(-4,0),倾斜角α=,l与圆x2+y2=7相交于A、B两点.(2)求A、B两点坐标.π612()()()3422133,3,,1213353,,,.(2222)xtttytAB由可解得代入直线参数方程得点坐标点坐标3.若直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的斜率为.31545xtyt4334,cos,sin..554tan3(,.)【答案】　【解析】　由参数方程可知为倾斜角即为直线斜率121212124;1,,:240,:210,24//4.21121))12((.lllkxyklxykkllkkllk【答案】　【解析】将的方程化为普通方程得4.已知直线l1:(t为参数),l2:(s为参数),若l1∥l2,则k=;若l1⊥l2,则k=.122xtykt12xsys5.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为(1)求曲线C在极坐标系中的方程;222222124,40,cos40,4cos.sin,4cos.()()CxyxyxxxyxyC【解析】　曲线的普通方程为即将代入方程化简得所以曲线的极坐标方程为22cos2sinxyπsin(+)22.413.5.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为(2)求直线l被曲线C截得的弦长.22()()()240,402,2,4,0,422.lxyxyxlCxylC直线的直角坐标方程为由得直线与曲线的交点坐标为所以直线被曲线截得的弦长为22cos2sinxyπsin(+)22.413.6.将下列参数方程化为普通方程:(1)(t为参数);(2)(θ为参数);112xtyt5cos4sin1xy111,1,12,231,1()()(.),1xttxytyxx【解析】　由有代入得这是一条以为端点的射线2222cos5cos(1)52,,1.4sin112516sin4()xxxyyy①由得①②得②(3)(t为参数);(4)(k为参数);1(ee)21(ee)2ttttxy2223161kxkkyk22(3)e,e,()()1,1.ttxyxyxyxyxy由参数方程得所以得普通方程为　22232()21()2460(6)4.yyxkxyxxxyyy两式相除，得，将其代入得，化简得所求的普通方程是7.参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为.22222111cos212sin,12,21()(11.)yxxyxyxx【答案】　【解析】由于故即sincos2xy8.(2019新课标Ⅰ卷)将参数方程(t为参数)，化为直角坐标方程为.222222222222221(1)411411()()1121(1)1(1).4yxxtyttxtttyxx【答案】　【解析】　因为，且，所以直角坐标方程为　2221141txttyt9.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.221cossin11,1cos.s(n()i())xyCxyxy【答案】为参数　【解析】　曲线的直角坐标方程是其参数方程为为参数10.已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ.将曲线C1的参数方程化为普通方程,将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程.2222122222222210cos,210.10sin210.2cos6sin,2cos6sin.26,13()()()()()10.1)10.()(3xxyyCxyxyxyxyCxy【解析】　由为参数得曲线的普通方程为即曲线的直角坐标方程为210cos10sinxy