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第三章函数第2节函数的单调性和奇偶性知识梳理1.函数的奇偶性的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,(1)都有f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数;(2)都有f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数.2.函数单调性的定义:如果函数f(x)对区间D内的任意x1,x2,当x1x2时,(1)都有f(x1)f(x2),则称f(x)是区间D上的增函数;(2)都有f(x1)f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数.3.函数的奇偶性的性质:(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称;(2)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=0;(3)奇函数的图象关于原点对称;(4)偶函数的图象关于y轴对称.4.几个常用的奇、偶函数:5.帮助记忆口诀:奇函数×奇函数⇒偶函数偶函数×偶函数⇒偶函数奇函数×偶函数⇒奇函数奇函数+奇函数⇒奇函数偶函数+偶函数⇒偶函数奇函数+偶函数⇒非奇非偶函数精选例题【例1】(2013宁夏一模)若奇函数f(x)在R上是增函数,且a+b0,则有()A.f(a)-f(b)0B.f(a)+f(b)0C.f(a)+f(b)0D.f(a)-f(b)0()()()()()C,,0,R,,,0.C.()()()()()fxfxfxababfxfafbfafbfafb【答案】【解析】为奇函数所以有由得到因为在上是增函数所以有即所以选【例2】(2015广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin2xB.y=x2-cosxC.y=2x+D.y=x2+sinx2222 D,sin,sin,sin,sin()()()()(.D).yxyxfxxxfxxxfxfxxxfx【答案】【解析】因为是偶函数是奇函数则而选12x【例3】(2017天津,文)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(log2),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab22220.80.8220.822Cloglog5,log5log4.12,122,log5log4.12,log5log1()()5()(4.1)()2,.afffffabc【答案】【解析】由题意知且结合函数的单调性知即15【例4】(2015新课标Ⅰ卷)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则a=______.2222()ln()()ln()((0)ln0,1);ln()ln(())0(()()0)ln0111.fxxxaxgxxaxgaaxaxxaxgxgxaa由函数为偶函数,则为奇函数或用特值验算法得由即,得,【答案】【解析,故填】2ax专题训练1.(2019北京,文)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()12-121A0(0,)21B2()01(0,)2Clog01(0,)1DA10(0,)xxyxayyxykx:为幂函数,,所以该函数在上单调递增；:指数函数,其底数大于小于,故在上单调递减；:对数函数,其底数大于小于,故在上单调递减；:反比例【答案】 【解析】函数,选项选项选项选其,故在上项单调递减.12121A.B.2C.logD.xyxyyxyx2.(2014湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x2232()()()(A11)(),C,D2,CD.1,,0.A().xfxfxxxfxxfxfxx【答案】 【解析】因为和都是偶函数选项中为奇函数选项中既不是奇函数也不是偶函数排除、但是开口向上在上是减函数选21x2DABCD,CD,,()||(0,,10,,D).xyxy【答案】 【解析】、、、四个答案中只有、是偶函数其中开口向下是在上单调递减的函数是在上单调递增的函数选3.(2015珠海一中等六校二次联考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x+1|C.y=-x2D.y=|x|+14.(2017北京)已知函数f(x)=3x-()x,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数11()()()()331()A33,,3,,,,A.3xxxxxxfxfx【答案】 【解析】所以函数是奇函数并且是增函数是减函数根据增函数减函数增函数所以函数是增函数故选13()(122228412)[(].)ff【答案】 【解析】 5.(2017新课标Ⅱ卷,文)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.6.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1B.2C.3D.4222B1271()()()()(2,:2,:2.B.)()fxmxmxmmmfxfxx【答案】 【解析】验算当时变为为偶函数选()()()()()6,1142,12,12,114246(.())fxgfffgf【答案】 【解析】因为是奇函数所以所以而7.已知f(x)是奇函数,g(x)=f(x)+4,g(1)=2,则g(-1)的值是.8.(2013湖南)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)=()A.4B.3C.2D.1B,,112,112.114,114,(1)(1)2,216,13,B.(1)()()(1)()()()()()()4()()()()fxgxfgfgfgfgfgggfg【答案】 【解析】因为是奇函数是偶函数且所以而即联立解得解得选D,,,11,11,11,12113(,1211,3)()()()()(),.(D)[]fxftfftfttxxfxx【答案】【解析】 因为为奇函数且在上单调递减要使成立即则满足从而由得即满足成立的的范围为故选9.(2017新课标Ⅰ卷,理5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]2D,280,24,,4,.()xxxx【答案】 【解析】要使函数有意义则解得或结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得原函数的单调增区间为10.(2017新课标Ⅱ卷,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)11.(2017天津,理6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca0.8220.8220.82()()()()()()CR,0,0,R,0,,log5.1log5.1,22,45.18,2log5.13,02log5.13()(),2log5.,())1.(3fxxfxgxxfxagggggbac【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数所以时有从而是上的偶函数且在上是增函数所以又则故12.(2018浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是()A.B.C.D.||||||||D2sin2,2()()(sin2)2sin2,;0,π,2()()0,()(sin2,.,D.)xxxxyfxxfxxxfxfxxxfx【答案】 【解析】令所以为奇函数①当时可正可负所以可正可负②由①②可知选13.(2019北京,理)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数),若f(x)为奇函数，则a=;若f(x)是R上的增函数，则a取值范围是.【答案】-1,(-∞,0]【解释】若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,则f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x),(a+1)(ex+e-x)=0对任意的x恒成立.∴a=-1;(或用特值验算法:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即e0+a·e0,得a=-1)若函数f(x)=ex+ae-x是R上的增函数,则f′(x)=ex-ae-x≥0恒成立,a≤e2x,a≤0.即实数a的取值范围是(-∞,0].14.(2019新课标Ⅱ卷,文理)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a=__________.【答案】-3【解释】因为f(x)是奇函数,且当x0时-x0,f(x)=-f(-x)=)=e-ax.又因为ln2∈(0,1),f(ln2)=8,所以e-aln2=8,两边取以e为底的对数得-aln2=3ln2,所以-a=3,即a=-3．15.(2019新课标Ⅲ卷,文理)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减，则()2233332233223333223311A.(log)(2)(2)B.(log)(2)(2)4411C.(2)(2)(log)D.(2)(2)(log)44ffffffffffff233233322330332233323323321(log),(2),(2)41()R(log)(log4)4log4log31,12log4,()(0)(log4)(2)(2)2)(C(2ffffxfffxfffff由已知函数为偶函数,把转化为同一个单调区间上,再比较大小.是的偶函数,.22,22又在【答案】 【解，单调递减,,析】2331)(log)C4f,故选．