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第八章立体几何测试一、选择题1.(2016浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C【解析】A项,已知α⊥β,且α∩β=l,m∥α,若m⊥β,那么m⊥l,故A项错误;B项,若m∥α∥l,且已知n⊥β,那么n⊥l,m⊥n,故B项错误;C项,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C项正确;D项,若m∥α,且m⊥l,那么m∥n,故D项错误;故选C.2.(2015福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为l⊥m,m⊥α,所以l∥α或l⊂α.故充分性不成立.若l∥α,m⊥α,一定有l⊥m.故必要性成立.选B.2A,,.1π142π2π595π.2()S【答案】 【解析】由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥且圆锥的高是圆柱高的一半故该几何体的表面积3.(2018兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.(95)πB.(925)πC.(105)πD.(1025)π4.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE【答案】C【解析】因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.5.(2013新课标Ⅱ卷)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】若α∥β,则m∥n,这与m,n为异面直线矛盾,所以A不正确.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B,C,故选D.6.(2012四川)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C【解析】对于选项A,这两条直线可以相交或为异面直线,∴A错误;对于选项B,这两个平面可以相交,∴B错误;对于选项D,这两个平面还可能相交,∴D错误;而由线面平行的性质定理可证C正确.故选C.7.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()A.4πSB.2πSC.πSD.πS2Aπ,π2π·2π,π4π,A.SrSSSS【答案】 【解析】由得圆柱的底面半径是故侧面展开图的边长为所以圆柱的侧面积是故选2338.(2016全国Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径,若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π322A1,87428,ππ,2,833734ππ17π,A.84rrrSrr【答案】 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体设球的半径为故所以表面积选28π39.(2016新课标Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()111111111A,.,,,.,.60,3,.2BDAPAFEQAEnAFmAFEAFFEAEFAEmn【答案】 【解析】 解答本题的关键是找到平面如图所示在正方体的一侧补上一个与其完全一样的正方体则平面即为平面直线即为直线直线即为直线在△中所以即为直线与所成的角其正弦值为3231A.B.C.D.223310.(2018广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】画出该几何体,如图所示,①因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD,所以EF∥BC,直线BE与直线CF是共面直线,故①不正确;②直线BE与直线AF满足异面直线的定义,故②正确;③由E,F分别是PA,PD的中点,可知EF∥AD,所以EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,故③正确;④因为BE与PA的关系不能确定,所以不能判定平面BCE⊥平面PAD,故④不正确.所以正确结论的个数是2.二、填空题11.(2016新课标Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)【答案】②③④【解析】若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β可能平行或相交,故①错误;②显然成立;若α∥β,m⊂α,则m与β无公共点,因而m∥β,故③正确;由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确.12.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=.52//,//,,515.22PCCDCDABPAABPACDABPC【答案】 【解析】 平面平面则13.球O半径为R=13,球面上有三点A,B,C,AB=,AC=BC=12,则四面体OABC的体积是()2222A,123,12,12330,120.224.12.sin12013125.11212sin120363,213635603.A.3ABCOABCABCrABABBCABCrrOABCdRrSV△【答案】 【解析】 设△外接圆半径为由得所以解得则到平面的距离又所以故选123A.603B.503C.606D.50614.(2012四川)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.1111222212222222211111190,,,,//.,,.4.11(42)341,425,22442()6,,90,CNKMKMKCDNMKDNAMKAMDNACAMAKMKDNAMAAAMAMMKAKAMKAMDN【答案】 【解析】如图取的中点连接则为△的中位线所以所以为异面直线与所成的角或补角连接设正方体棱长为则即异面直线与所成的角的大90.小是三、解答题15.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,M是AB的中点,AC=CB=CC1=2.(1)求证:平面A1CM⊥平面ABB1A1;【解析】(1)证明:由A1A⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,则A1A⊥CM.由AC=CB,M是AB的中点,则AB⊥CM.又A1A∩AB=A,则CM⊥平面ABB1A1,又CM⊂平面A1CM,所以平面A1CM⊥平面ABB1A1.15.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,M是AB的中点,AC=CB=CC1=2.(2)求点M到平面A1CB1的距离.111111111111111111111111--11()()2,222,23,22.1,,11··,33·23,.3ACBAMBCAMBAMBMACBACBAMBACBMACBhACCBABMCSSCMABBAVMCSVhSMCSMACBhS△△△△△△设点到平面的距离为由题意可知由可知平面得所以点到平面的距离16.如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图(2)所示的几何体.(1)求证:AB⊥平面ADC;(1)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB,又因为折叠前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.16.如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图(2)所示的几何体.(2)若AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为求点B到平面ADE的距离.6,21,,.,()()tan6,1,6.DCABDACABDADCADACABDCDCADADCDAD由知平面所以在平面内的正投影为即为与其在平面内的正投影所成角依题意因为所以2222—0,1,,,6,2,2,3,3.11,,,33,,222213121()().222213,.33()ADEABCDABDABDCABxxBDxABDDCBADBDxxABBDBCxABADCABACEBCBCBCAEDESDCABDVCDSBA△△设则因为△∽△所以即解得故由于平面为的中点由平面几何知识得同理所以因为平面所以设点到平面———,1136·,,32626.2ADEBADEABDEABCDDEddSVVVdBADE△的距离为则所以即点到平面的距离为