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第4课时数的开方与二次根式考点一平方根、算术平方根与立方根考点聚焦1.平方根、算术平方根:实数a(a≥0)的平方根为±𝑎,其中𝑎为a的算术平方根,正数的平方根有两个,互为①,算术平方根只有一个且为②,0的平方根是0.相反数正数相同2.立方根:实数a的立方根为𝑎3(a为任意实数),立方根只有一个,符号与被开方数③,立方根等于本身的数为±1,0.考点二二次根式的概念和性质1.二次根式:形如𝑎(a≥0)的式子叫做二次根式.02.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④.3.最简二次根式必须同时满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如:8,12,2𝑎2都不是最简二次根式.4.二次根式的性质(1)(𝑎)2=⑤(a≥0).(2)𝑎2=|a|=⑥(𝑎≥0),⑦(𝑎0).(3)𝑎·𝑏=𝑎·𝑏(a⑧0,b⑨0).(4)𝑎𝑏=𝑎𝑏(a⑩0,b⑪0).aa-a≥≥≥考点三二次根式的运算1.加减运算:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.≥≥≥2.乘除运算:𝑎·𝑏=𝑎𝑏(a⑫0,b⑬0);𝑎𝑏=𝑎𝑏(a⑭0,b⑮0).3.混合运算:与实数的运算顺序相同.运算结果必须为最简二次根式.4.把分母中的根号化去的方法(1)1𝑎=𝑎𝑎·𝑎=𝑎𝑎;(2)1𝑎-𝑏=𝑎+𝑏(𝑎-𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑏𝑎-𝑏.考点四二次根式的估算1.一般先对根式进行平方,如(7)2=7;2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数,如479;3.对以上两个整数开方,如4=2,9=3;4.这个根式的值在这两个相邻整数之间,如273.考点五非负数1.概念:正数和零叫做非负数.常见的非负数有|a|,a2,𝑎(a≥0).2.性质若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.如:若a2+|b|+𝑐=0,则a2=0,|b|=0,𝑐=0,可得a=b=c=0.题组一教材题对点演练1.[七下P47习题6.1第4题改编]下列说法正确的有()(1)5是25的算术平方根;(2)56是2536的一个平方根;(3)(-4)2的平方根是-4;(4)0的平方根与算术平方根都是0.A.1个B.2个C.3个D.4个C2.[八下P19复习题16第1题改编]当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1)3+𝑥:;(2)12𝑥-1:;(3)12-3𝑥:;(4)1(𝑥-1)2:.x≥-3x𝟏𝟐x𝟐𝟑x≠13.[八下P5习题16.1第9题改编](1)已知18-𝑛是整数,则自然数n所有可能的值为;(2)已知24𝑛是整数,则正整数n的最小值为.[答案](1)2,9,14,17,18(2)6[解析](1)∵要使18-𝑛有意义,必须使18-n≥0,即n≤18.∵18-𝑛是整数,∴n只能是2,9,14,17,18,对应的18-𝑛的值是4,3,2,1,0.(2)∵24𝑛=26𝑛,24𝑛是整数,∴正整数n的最小值是6.4.[八下P19复习题16第3题节选改编]计算:(1)24−12-18+6=;(2)212×34÷52=;(3)(23+6)(23−6)=.𝟔−𝟑𝟒𝟐𝟑𝟏𝟎𝟐65.[八下P15习题16.3第6题改编]已知x=3+1,y=3-1,求下列各式的值:(1)x2+2xy+y2=;(2)x2-y2=.[答案](1)12(2)43[解析]因为x=3+1,y=3-1,所以x+y=23,x-y=2.则:(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(23)2=12.(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=43.题组二易错题6.下列等式正确的是()A.(3)2=3B.(-3)2=-3C.33=3D.(-3)2=-3【失分点】混淆(𝑎)2和𝑎2;求二次根式有意义的条件时考虑不全,忽视分母不为0等条件;二次根式的计算结果未化为最简二次根式.[答案]A[解析]∵(3)2=3,∴A选项正确;∵(-3)2=9=3,∴B选项错误;∵33=32×3=32×3=33,∴C选项错误;∵(-3)2=(3)2=3,∴D选项错误.7.[2018·保定三模]使代数式𝑥-2𝑥-3有意义的x的取值范围是()A.x2B.x≥2C.x3D.x≥2且x≠38.已知b0,化简-𝑎3𝑏的结果是()A.a𝑎𝑏B.-a𝑎𝑏C.-a-𝑎𝑏D.a-𝑎𝑏DC考向一求平方根、算术平方根与立方根1.判断正误:(1)36的平方根是6;()(2)±9的平方根是±3;()(3)4=±2;()(4)0.01是0.1的平方根;()(5)42的平方根是4;()(6)81的算术平方根是±9.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×[解析](1)36的平方根是±6,故错误;(2)-9没有平方根,故错误;(3)4=2,故错误;(4)0.1是0.01的算术平方根,故错误;(5)42的平方根是±4,故错误;(6)81的算术平方根是9,故错误.3.16的平方根是()A.±4B.4C.±2D.22.[2019·南京]面积为4的正方形的边长是()A.4的平方根B.4的算术平方根C.4开平方的结果D.4的立方根5.[2019·台州]若一个数的平方等于5,则这个数等于.4.-8的立方根是.BC-2±𝟓考向二二次根式的有关概念6.[2019·原创]下列二次根式中,与3可以相加减的是()A.18B.13C.24D.0.37.下列根式不能再化简的是()A.23B.3C.9D.12BB8.[2019·甘肃]使得式子𝑥4-𝑥有意义的x的取值范围是()A.x≥4B.x4C.x≤4D.x4[答案]D[解析]式子𝑥4-𝑥有意义,则4-x0,解得x4,故选D.考向三二次根式的化简与计算D9.[2019·常德]下列运算正确的是()A.3+4=7B.12=32C.(-2)2=-2D.146=21310.[2019·聊城]下列各式不成立的是()A.18−89=732B.2+23=223C.8+182=4+9=5D.13+2=3−2[答案]C[解析]A.18−89=32−223=732,A选项正确;B.2+23=83=223,B选项正确;C.8+182=22+322=522,C选项错误;D.13+2=3-2(3+2)(3-2)=3−2,D选项正确.故选C.11.[2019·衡阳]27−3=.12.[2019·天津]计算(3+1)(3-1)的结果等于.13.[原创]计算下列各题:(1)(6-215)×3-612;(2)(3+2-1)(3−2+1).解:(1)原式=32-65-32=-65.(2)原式=[3+(2-1)][3-(2-1)]=3-(2-1)2=3-(2-22+1)=3-(3-22)=22.22𝟑14.[2019·泰安]先化简,再求值:a-9+25𝑎+1÷a-1-4𝑎-1𝑎+1,其中a=2.解:原式=(𝑎-9)(𝑎+1)𝑎+1+25𝑎+1÷(𝑎-1)(𝑎+1)𝑎+1−4𝑎-1𝑎+1=𝑎2-8𝑎-9𝑎+1+25𝑎+1÷𝑎2-1𝑎+1−4𝑎-1𝑎+1=𝑎2-8𝑎+16𝑎+1÷𝑎2-4𝑎𝑎+1=(𝑎-4)2𝑎+1·𝑎+1𝑎(𝑎-4)=𝑎-4𝑎.当a=2时,原式=2-42=1-22.考向四二次根式的估值B15.[2019·资阳]设x=15,则x的取值范围是()A.2x3B.3x4C.4x5D.无法确定16.[2019·南京]下列整数中,与10-13最接近的是()A.4B.5C.6D.7[答案]C[解析]∵91316,∴3134,与13最接近的整数是4,∴与10-13最接近的是6,故选C.17.[2019·重庆A卷]估计(23+62)×13的值应在()A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间C[答案][解析](32)2=18,(25)2=20,∵1820,∴3225.∴-32-25.18.比较大小:-32-25.考向五二次根式的非负性A19.已知a,b满足(a-1)2+𝑏+2=0,则a+b=()A.-1B.0C.1D.220.[2018·广东]已知𝑎-𝑏+|b-1|=0,则a+1=.[答案]2[解析]∵𝑎-𝑏+|b-1|=0,∴b-1=0,a-b=0,解得:b=1,a=1,故a+1=2.21.[2019·随州]“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:2+32-3=(2+3)(2+3)(2-3)(2+3)=7+43,除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方法来化简一些有特点的无理数,如:对于3+5−3-5,设x=3+5−3-5,易知3+53-5,故x0,由x2=3+5−3-52=3+5+3-5-2(3+5)(3-5)=2,解得x=2,即3+5−3-5=2.根据以上方法,化简3-23+2+6-33−6+33后的结果为()A.5+36B.5+6C.5-6D.5-36[答案]D[解析]设x=6-33−6+33,∴x2=6-33-6+332=6,∵6-336+33,∴6-33−6+330,∴x=-6.又∵3-23+2=(3-2)(3-2)(3+2)(3-2)=5-26,∴3-23+2+6-33−6+33=5-26−6=5-36.