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第3课时分式及其运算考点一分式的相关概念考点聚焦定义一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子①叫做分式有意义的条件分母不为②(B≠0)值为0的条件分子为0,且分母不为0(A=0且B≠0)0𝑨𝑩考点二分式的基本性质分式的基本性质约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式③的同分母的分式,叫做分式的通分最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,叫做最简公分母变号法则相等AB=A·MB·M,AB=A÷MB÷M(其中A,B,M是整式,B≠0,M≠0)AB=--AB=-A-B=-A-B考点三分式的运算分式的加减(1)同分母:ac±bc=④.(2)异分母:ab±cd=⑤±⑥=ad±bcbd(先通分,再加减)分式的乘除(1)乘法:ab·cd=⑦.(2)除法:ab÷cd=⑧·⑨=adbc分式的乘方abn=⑩(n为整数,b≠0)𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅𝒃𝒅𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒂𝒃𝒅𝒄𝒂𝒏𝒃𝒏(续表)分式的混合运算(1)法则:在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,如果有括号,先算括号里面的.(2)特别说明a.实数的各种运算律也适用于分式的运算;b.分式运算的结果要化成最简分式或整式题组一教材题对点演练1.[八上P133习题15.1第3题改编]x满足什么条件时下列分式有意义?(1)13𝑥;(2)13-𝑥;(3)𝑥-53𝑥+5;(4)1𝑥2-16.(1);(2);(3);(4).x≠0x≠3x≠±4x≠-𝟓𝟑2.[八上P158复习题15第6(1)题]当x为时,分式3𝑥-62𝑥+1的值为0.23.[八上P147习题15.2第12题改编]绿化队原来用漫灌方式浇绿地,a天用水mt,现在改用喷灌方式,可使这些水多用3天,现在比原来每天节约用水t.[答案]3𝑚𝑎(𝑎+3)[解析]𝑚𝑎−𝑚𝑎+3=3𝑚𝑎(𝑎+3).4.[八上P146习题15.2第6(1)(3)题改编]计算:(1)1𝑎+1𝑏2÷1𝑎2−1𝑏2=;(2)𝑥𝑥+𝑦+2𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+2𝑦÷1𝑥+1𝑦=.[答案](1)-𝑎+𝑏𝑎-𝑏(2)𝑥2𝑦2(𝑥+𝑦)2[解析](1)1𝑎+1𝑏2÷1𝑎2−1𝑏2=𝑎+𝑏𝑎𝑏2÷𝑏2-𝑎2𝑎2𝑏2=(𝑎+𝑏)2𝑎2𝑏2·𝑎2𝑏2(𝑏+𝑎)(𝑏-𝑎)=-𝑎+𝑏𝑎-𝑏.(2)𝑥𝑥+𝑦+2𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+2𝑦÷1𝑥+1𝑦=𝑥+2𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+2𝑦÷𝑥+𝑦𝑥𝑦=𝑥𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+𝑦=𝑥2𝑦2(𝑥+𝑦)2.5.[八上P159复习题15第11(1)题改编]计算:𝑥2-1𝑥2-2𝑥+1÷𝑥+1𝑥-1·1-𝑥1+𝑥.解:原式=(𝑥+1)(𝑥-1)(𝑥-1)2·𝑥-1𝑥+1·1-𝑥1+𝑥=-𝑥-1𝑥+1.【失分点】忽视分式的分母不等于0这一隐含条件;分式运算中,通分运算时因为负号忽视变号而出错.题组二易错题7.下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误()A.①B.②C.③D.④图3-12B6.若分式𝑥2-4𝑥+2的值为0,则x的值是.考向一分式的有关概念1.[2019·宁波]若分式1𝑥-2有意义,则x的取值范围是()A.x2B.x≠2C.x≠0D.x≠-2B[答案]B[解析]要想使分式的值为零,应使分子为零,即|x|-1=0,分母不为零,即x+1≠0,∴x=1,故选B.2.[2019·聊城]如果分式𝑥-1𝑥+1的值为0,那么x的值为()A.-1B.1C.-1或1D.1或03.求当x取何值时,分式|𝑥|-22𝑥+4:(1)有意义;(2)无意义;(3)值为零.解:(1)2x+4≠0,即x≠-2时分式有意义.(2)2x+4=0,即x=-2时分式无意义.(3)|𝑥|-2=0,2𝑥+4≠0,解得x=2,即x=2时分式的值为0.【方法点析】分式有意义的条件:分母不为零;分母为零时分式无意义;分式的值为零的条件:分式的分子为零,且分母不为零.考向二分式的化简与求值A4.[2019·天津]计算2𝑎𝑎+1+2𝑎+1的结果是()A.2B.2a+2C.1D.4𝑎𝑎+1[答案]B5.[2019·临沂]计算𝑎2𝑎-1-a-1的正确结果是()A.-1𝑎-1B.1𝑎-1C.-2𝑎-1𝑎-1D.2𝑎-1𝑎-1[解析]原式=𝑎2𝑎-1-(a+1)=𝑎2𝑎-1−𝑎2-1𝑎-1=1𝑎-1,故选B.6.已知1𝑥−1𝑦=3,则代数式2𝑥+3𝑥𝑦-2𝑦𝑥-𝑥𝑦-𝑦的值是()A.-72B.-112C.92D.34[答案]B[解析]由1𝑥−1𝑦=3,得𝑦-𝑥𝑥𝑦=3,∴x-y=-3xy,∴原式=2(𝑥-𝑦)+3𝑥𝑦(𝑥-𝑦)-𝑥𝑦=-6𝑥𝑦+3𝑥𝑦-3𝑥𝑦-𝑥𝑦=-3𝑥𝑦-4𝑥𝑦=34,故选D.7.[2019·宿迁]先化简,再求值:1+1𝑎-1÷2𝑎𝑎2-1,其中a=-2.解:原式=𝑎𝑎-1·(𝑎+1)(𝑎-1)2𝑎=𝑎+12.当a=-2时,原式=-2+12=-12.解:原式=𝑥-2𝑥(𝑥+2)-𝑥-1(𝑥+2)2·𝑥4-𝑥=𝑥2-4-𝑥2+𝑥𝑥(𝑥+2)2·𝑥4-𝑥=𝑥-4𝑥(𝑥+2)2·𝑥4-𝑥=-1(𝑥+2)2.当x=1时,原式=-19.(x取其他满足题意的值均可,x≠0,-2,4)8.先化简:𝑥-2𝑥2+2𝑥−𝑥-1𝑥2+4𝑥+4÷4-𝑥𝑥,再选取一个适当的x的值代入求值.【方法点析】分式化简求值时需注意的问题:(1)化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值;(2)化简时,不要随意去掉分母;(3)当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式及化简过程中的分式都有意义.考向三分式的创新应用B9.如图3-2,设k=甲图中阴影部分的面积乙图中阴影部分的面积,其中ab0,则有()A.k2B.1k2C.12k1D.0k12图3-210.[2019·安徽]观察以下等式:第1个等式:21=11+11,第2个等式:23=12+16,第3个等式:25=13+115,第4个等式:27=14+128,第5个等式:29=15+145,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.解:(1)211=16+166(2)22𝑛-1=1𝑛+1(2𝑛-1)𝑛.证明:右边=1𝑛+1(2𝑛-1)𝑛=2𝑛-1(2𝑛-1)𝑛+1(2𝑛-1)𝑛=2𝑛(2𝑛-1)𝑛=22𝑛-1=左边.所以猜想正确.