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第2课时整式与因式分解考点一整式的概念考点聚焦内容单项式多项式定义数或字母的①组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和考点二同类项、合并同类项1.同类项:所含字母③,并且相同字母的指数也④的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.相同相同【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.考点三整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑤.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑥(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑦(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑧(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑨(a≠0,m,n都为整数)am+n合并同类项anbnamnam-n(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘m(a+b+c)=⑩多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=⑪ma+mb+na+nbma+mb+mc(续表)类别法则整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=⑫完全平方公式:(a±b)2=⑬常用恒等变形(1)a2+b2=⑭=⑮;(2)(a-b)2=⑯-4aba2±2ab+b2a2-b2(a-b)2+2ab(a+b)2-2ab(a+b)2考点四因式分解1.定义:把一个多项式化为几个整式的的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2.方法项相同的因式及其最低次幂.积(1)提公因式法用字母表示:𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐)公因式的确定:取各项系数的最大公约数,取各(2)公式法3.步骤一提(提公因式);二套(套公式);三检验(检验是否分解彻底).题组一教材题对点演练61.[八上P104习题14.1第1题改编]下面的计算,错误的有个.(1)b3·b3=2b3;(2)x4·x4=x16;(3)(a5)2=a7;(4)(a3)2·a4=a9;(5)(ab2)3=ab6;(6)(-2a)2=-4a2.2.[八上P125复习题14第7题改编]分解因式:(1)x3-9x=;(2)16x4-1=;(3)6xy2-9x2y-y3=;(4)(2a-b)2+8ab=.x(x+3)(x-3)(4x2+1)(2x+1)(2x-1)-y(3x-y)2(2a+b)23.[八上P112习题14.2第7题改编]已知a+b=4,ab=2,则a2+b2=.[答案]12[解析]∵a+b=4,ab=2,∴(a+b)2=16,即a2+2ab+b2=16,于是a2+b2=16-2ab=16-2×2=12.4.[八上P112习题14.2第4题改编]计算:(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)=.10y2+12xy【失分点】混淆幂的运算法则;因式分解不彻底或错用公式.题组二易错题5.[2018·遵义]下列运算正确的是()A.(-a2)3=-a5B.a3·a5=a15C.(-a2b3)2=a4b6D.3a2-2a2=16.[2019·潍坊]下列因式分解正确的是()A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax)B.-x2+y2=(-x+y)(-x-y)C.a2+2ab+4b2=(a+2b)2D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2CD考向一同类项1.[2019·株洲]下列各式中,与3x2y3是同类项的是()A.2x5B.3x3y2C.-12x2y3D.-13y5C2.[2019·滨州]若8xmy与6x3yn的和是单项式,则(m+n)3的平方根为()A.4B.8C.±4D.±8[答案]D[解析]∵8xmy与6x3yn的和是单项式,∴m=3,n=1,∴(m+n)3=43=64,∴(m+n)3的平方根为±8.故选D.考向二整式的运算3.判断正误.(1)a2+a3=a5;()(2)a2·a3=a6;()(3)(a2)5=a7;()(4)a6÷a2=a4;()(5)(a+b)(a-b)=a2-b2;()××√√×(6)(a-b)2=a2-b2;()(7)(a+b)2=a2+b2;()(8)-2x(x-y)=-2x2-2xy;()(9)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2.()××××4.[2019·威海]下列运算正确的是()A.(a2)3=a5B.3a2+a=3a3C.a5÷a2=a3(a≠0)D.a(a+1)=a2+15.[2019·青岛]计算(-2m)2·(-m·m2+3m3)的结果是()A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m5CA6.[2018·菏泽]若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.[答案]-12[解析]a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×22=-12.157.已知a+b=5,ab=3,则a2b+ab2=;(a-b)2=.138.先化简,再求值:(1)[2019·宁波](x-2)(x+2)-x(x-1),其中x=3.(2)(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-12.解:(1)原式=x2-4-x2+x=x-4.当x=3时,原式=3-4=-1.(2)原式=a2+6a+9-a2+1-4a-8=2a+2.当a=-12时,原式=2×(-12)+2=-1+2=1.考向三因式分解9.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是()A.a2-1B.a2+aC.a2+a-2D.(a+2)2-2(a+2)+110.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)2CD11.分解因式:(1)[2019·苏州]x2-xy=.(2)[2019·温州]m2+4m+4=.(3)[2019·威海]2x2-2x+12=.(4)[2018·杭州](a-b)2-(b-a)=.(5)[2018·葫芦岛]2a3-8a=.(6)[2019·宜宾]b2+c2+2bc-a2=.x(x-y)(m+2)2(b+c+a)(b+c-a).(a-b)(a-b+1)2a(a+2)(a-2)2(x-𝟏𝟐)212.如图2-1中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式(要求等式左边为两个因式乘积的形式):.图2-1m(a+b+c)=ma+mb+mc考向四创新题型13.[2019·天水]观察下图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有个〇.图2-2[答案]6058[解析]由图可得,第1个图形中〇的个数为:1+3×1=4,第2个图形中〇的个数为:1+3×2=7,第3个图形中〇的个数为:1+3×3=10,第4个图形中〇的个数为:1+3×4=13,…∴第2019个图形中〇的个数为:1+3×2019=1+6057=6058.14.[2019·台州]砸“金蛋”游戏:把210个“金蛋”连续编号为1,2,3,…,210,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎,然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1,2,3,…,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎,…,按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止.操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共个.[答案]3[解析]∵210÷3=70,∴第一次砸碎编号是3的整数倍的金蛋个数为70个,剩下210-70=140(个)金蛋,重新编号为1,2,3,…,140;∵140÷3=46……2,∴第二次砸碎编号是3的整数倍的金蛋个数为46个,剩下140-46=94(个)金蛋,重新编号为1,2,3,…,94;∵94÷3=31……1,∴第三次砸碎编号是3的整数倍的金蛋个数为31个,剩下94-31=63(个)金蛋,∵6366,∴砸三次后,就不存在编号为“66”的金蛋,故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共3个.