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第15课时二次函数的实际应用考点一建立二次函数模型解决问题考点聚焦常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.考点二图象信息类问题1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.题组一教材题对点演练1.[九上P52习题22.3第3题改编]飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=60t-1.5t2,飞机着陆后滑行m才能停下来.[答案]600[解析]s=60t-1.5t2=-1.5t2+60t=-1.5(t2-40t+400-400)=-1.5(t-20)2+600,∴当t=20s时,飞机才能停下来,此时s=600m.2.[九上P51探究3改编]如图15-1是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.水面下降1m,水面宽度增加m.图15-1[解析]如图,建立平面直角坐标系,可设这条抛物线的解析式为y=ax2,把(2,-2)代入,得-2=a×22,a=-12,∴y=-12x2.当y=-3时,-12x2=-3,x=±6,∴水面下降1m,水面宽度增加(26-4)m.[答案](26-4)3.[九上P50探究2改编]某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,定价为元才能使利润最大.65题组二易错题【失分点】在具体实际问题确定最值时,忽略自变量取值范围对最值的影响.4.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).考向一二次函数销售、加工等方面的应用解:(1)根据题意得y=-12x+50(0x≤20).例1[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式.(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?例1[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(2)根据题意得(40+x)-12x+50=2250,解得:x1=50(舍去),x2=10,答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.例1[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?(3)根据题意得w=(40+x)-12x+50=-12x2+30x+2000=-12(x-30)2+2450,∵a=-120,∴当x30时,w随x的增大而增大,∴当x=20时,w最大=2400,答:当x为20时w最大,最大值是2400元.|考向精练|[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-2所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图15-2解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(30,100),(45,70)代入一次函数表达式得:100=30𝑘+𝑏,70=45𝑘+𝑏,解得:𝑘=-2,𝑏=160,故函数的表达式为y=-2x+160.[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-2所示.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?图15-2(2)由题意得:w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,∵-20,故当x55时,w随x的增大而增大,而30≤x≤50,∴当x=50时,w有最大值,此时,w=1200,故销售单价定为50元时,才能使销售该商品每天的利润最大,最大利润是1200元.[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-2所示.(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图15-2(3)由题意得:(x-30)(-2x+160)≥800,解得:40≤x≤70,∴每天的销售量y=-2x+160≥20,∴每天的销售量最少应为20件.考向二二次函数在几何图形中的应用例2某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边由长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图15-3所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.图15-3解:(1)根据题意得:(30-2x)x=72,解得:x=3或x=12,∵30-2x≤18,∴x≥6,∴x=12.例2某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边由长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图15-3所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.图15-3(2)设苗圃园的面积为y平方米,则y=x(30-2x)=-2x2+30x=-2x-1522+2252,∵30-2x≥8,∴x≤11,又x≥6,∴6≤x≤11.∴苗圃园的面积y有最大值和最小值,∴当x=152时,y最大=112.5平方米;当x=11时,y最小=88平方米.|考向精练|1.[2018·福建A卷]如图15-4,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.图15-4解:(1)设AD=m米,则AB=100-𝑚2米,依题意,得100-𝑚2·m=450,解得m1=10,m2=90.因为a=20且m≤a,所以m2=90不合题意,应舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.1.[2018·福建A卷]如图15-4,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.图15-4(2)设AD=x米,矩形ABCD的面积为S平方米,则0x≤a,S=100-𝑥2·x=-12(x2-100x)=-12(x-50)2+1250,①若a≥50,则当x=50时,S最大=1250;②若0a50,则当0x≤a时,S随x的增大而增大,故当x=a时,S最大=50a-12a2.综上,当a≥50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是1250平方米;当0a50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是50𝑎-12𝑎2平方米.2.有一个窗户形状如图15-5①,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积的最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图15-5②,材料总长仍为6m.利用图②,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积.(2)与例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.图15-5解:(1)由已知可得AD=54m,则S=1×54=54m2.2.有一个窗户形状如图15-5①,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积的最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图15-5②,材料总长仍为6m.利用图②,解答下列问题:(2)与例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.图15-5(2)设AB=xm,则AD=3-74xm,∵3-74x0,∴0x127,设窗户面积为S,由已知得S=AB·AD=x3-74x=-74x2+3x=-74x-672+97,x=67在0x127的范围内,∴当x=67时,S最大值=97m21.05m2,∴与例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.考向三二次函数解决抛物线形实际问题例3[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-6所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合