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第14课时二次函数的图象及其性质(二)考点一二次函数图象的平移考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图14-1所示(假设h,k均为正数):图14-1【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.考点二二次函数与一元二次方程、不等式的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个①的实数根1个b2-4ac=0两个②的实数根没有b2-4ac0③实数根相等不相等1.二次函数与一元二次方程的关系没有2.二次函数与不等式的关系ax2+bx+c0(或ax2+b+c0)的解集:函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴④(或⑤)的部分对应的点的横坐标的取值范围.上方下方题组一教材题对点演练1.[九上P35例3改编]怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=-12(x+1)2-1()A.左移1个单位、上移1个单位B.左移1个单位、下移1个单位C.右移1个单位、上移1个单位D.右移1个单位、下移1个单位B2.[九上P47习题22.2第5题改编]如图14-2是函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是;(2)函数值大于0时x的取值范围是;(3)函数值小于0时x的取值范围是.x1=-1,x2=3图14-2x-1或x3-1x3题组二易错题【失分点】解析式中x2的系数含有参数时,注意考虑系数是否可以为0.0或-13.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.考向一抛物线的平移例1[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2[答案]D[解析]y=x2-6x+5=(x-3)2-4,向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得y=(x-3-1)2-4+2,即y=(x-4)2-2.|考向精练|1.[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位[答案]B[解析]y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),故选B.2.[2019·宜宾]将抛物线y=2x2,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.y=2(x+1)2-2考向二二次函数与一元二次方程、不等式的关系[答案]12例2已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是x1=,x2=.[解析]∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是直线x=32.又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴根据抛物线的对称性知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.|考向精练|1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为.-12.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为.[答案]x1=2,x2=4[解析]∵二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,∴-𝑏2=2,∴b=-4,∴原方程化为x2-4x-5=2x-13,解得x1=2,x2=4.3.[2019·济宁改编]如图14-3,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+cn的解集是.图14-3x-1或x34.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是.[答案]b1且b≠0[解析]∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,∴𝛥=(-2)2-4𝑏0,𝑏≠0,解得b1且b≠0.考向三二次函数图象与性质的综合运用例3如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数解析式(用两种方法).(2)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.(3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.(4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-4解:(1)方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),又∵抛物线过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1,∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.方法二:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,∴𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=3,解得𝑎=-1,𝑏=2,𝑐=3,∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.例3如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(2)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.图14-4(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4),对称轴为直线x=1.例3如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.图14-4(3)如图,连接BC,交直线l于点P,则点P为使△PAC的周长最小的点,设直线BC的解析式为y=kx+n,将B(3,0),C(0,3)代入得3𝑘+𝑛=0,𝑛=3,解得𝑘=-1,𝑛=3,∴直线BC的解析式为y=-x+3,∵对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=2,即点P的坐标为(1,2).例3如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-4(4)∵点M在直线x=1上,∴设M(1,m),且A(-1,0),C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10,∵△MAC为等腰三角形,∴有MA=MC、MA=AC和MC=AC三种情况,①若MA=MC,则MA2=MC2,即m2+4=m2-6m+10,解得m=1,此时M点坐标为(1,1);②若MA=AC,则MA2=AC2,即m2+4=10,解得m=±6,此时M点坐标为(1,6)或(1,-6);③若MC=AC,则MC2=AC2,即m2-6m+10=10,解得m=0或m=6,当m=6时,M,A,C三点共线,构不成三角形(舍去),此时M点坐标为(1,0),综上可知存在符合条件的点M,其坐标为(1,1)或(1,6)或(1,-6)或(1,0).|考向精练|[2019·随州节选]如图14-5①,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(-2,0),C(6,0).(1)直接写出抛物线的解析式及其对称轴;(2)如图14-5②,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P作PD⊥AC于点E,交x轴于点D,过点P作PG∥AB交AC于点F,交x轴于点G,设线段DG的长为d,求d与m的函数关系式,并注明m的取值范围.图14-5解:(1)y=-12x2+2x+6,对称轴为直线x=2[2019·随州节选]如图14-5①,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(-2,0),C(6,0).(2)如图14-5②,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P作PD⊥AC于点E,交x轴于点D,过点P作PG∥AB交AC于点F,交x轴于点G,设线段DG的长为d,求d与m的函数关系式,并注明m的取值范围.图14-5(2)过P作PH⊥x轴于点H,则∠AOB=∠PHG=90°,∵PG∥AB,∴∠ABO=∠PGH,∴△BAO∽△GPH,∴𝑂𝐵𝑂𝐴=𝐺𝐻𝑃𝐻=13.∵P(m,n),∴GH=13n.∵PD⊥AC,∴∠DEC=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC=45°,∴∠PDH=45°,∴PH=DH,∵DG+GH=PH,DG=d,∴d+13n=n,∴d=23n.∵n=-12m2+2m+6,∴d=23-12m2+2m+6=-13m2+43m+4.∵P在对称轴右侧第一象限的抛物线上,∴2m6.