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第13课时二次函数的图象及其性质(一)考点一二次函数的概念考点聚焦【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.y=ax2+bx+ca≠0考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸向下向上(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0对称轴直线⑤顶点坐标⑥x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂(续表)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性增大减小在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”增大减小函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值二次项系数a的特性的大小决定抛物线的开口大小,越大,抛物线的开口越小;越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最⑪值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最⑫值,y最大值=4ac-b24a(续表)大小考点三二次函数的图象与系数的关系项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征aa0开口向⑬a0开口向⑭bb=0对称轴为⑮轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴⑯侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑰侧y下上左右(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征cc=0经过点⑱c0与y轴⑲相交c0与y轴⑳相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有㉑个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点正半轴(0,0)负半轴两(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=㉒若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=㉓时,y0-1a-b+c考点四二次函数图象的画法一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:(1)画对称轴;(2)确定顶点位置;(3)确定与x轴,y轴的交点位置;(4)确定与y轴的交点关于对称轴的对称点;(5)用平滑的曲线连接上述各点.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=-𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:㉔.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是㉕.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为㉖.y=ax2+bx+c(a≠0)(x1,0),(x2,0)(h,k)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)题组一教材题对点演练-11.[九上P41习题22.1第7题]填空:(1)已知函数y=2(x+1)2+1,当x时,y随x的增大而减小,当x时,y随x的增大而增大;(2)已知函数y=-2x2+x-4,当x时,y随x的增大而增大,当x时,y随x的增大而减小.-1𝟏𝟒𝟏𝟒[答案]x=1[解析]方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),∴抛物线的解析式可设为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),∴抛物线的对称轴是直线x=1.2.[九上P47习题22.2第4题改编]抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),这条抛物线的对称轴是直线.方法二:∵抛物线关于其对称轴对称,且其对称轴x=h与x轴垂直,∴对称轴必过点(-1,0),(3,0)的对称中心,则h-(-1)=3-h,得h=-1+32=1.即抛物线的对称轴是直线x=1.3.[九上P40练习第2题改编]一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,这个二次函数的解析式是.y=4x2+5x题组二易错题【失分点】求抛物线对称轴方程、顶点坐标时,符号错误;求二次函数的最值时,忽略自变量取值范围对结果的影响.x=34.二次函数y=x2-6x-7图象的对称轴为直线;顶点坐标为.5.当-2≤x≤4时,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.(3,-16)160考向一二次函数的图象与性质例1已知抛物线y=12x2+x-52.(1)用配方法求抛物线的顶点坐标.(2)函数是否有最大值或最小值?求最大或最小值.(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(4)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴的交点为C,求S△ABC.解:(1)∵y=12x2+x-52=12(x2+2x)-52=12(x2+2x+1-1)-52=12(x2+2x+1)-12−52=12(x+1)2-3,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).例1已知抛物线y=12x2+x-52.(2)函数是否有最大值或最小值?求最大或最小值.(2)当x=-1时,y有最小值-3.例1已知抛物线y=12x2+x-52.(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(3)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,∴当x-1时,y随x的增大而减小.例1已知抛物线y=12x2+x-52.(4)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴的交点为C,求S△ABC.(4)令y=0,即12x2+x-52=0,解得x1=6-1,x2=-6-1,∴AB=26,易知C点坐标为0,-52,∴S△ABC=12×26×52=562.【方法点析】(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法,②公式法-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五点,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.|考向精练|1.[2018·成都]关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3D2.[2019·兰州]已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2y1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12[答案]A[解析]根据题意,可得:抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,∴在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.∵-112,∴2y1y2,故选A.3.[2019·攀枝花]在同一坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是()图13-1[答案]C[解析]根据参数符号可排除A,D选项,联立两函数解析式所得方程无解,则两函数图象无交点,可排除B选项,故选C.4.[2019·嘉兴]小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的性质时,有如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22m,则y1y2;④当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2.其中错误结论的序号是()A.①B.②C.③D.④[答案]C[解析]二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数),①顶点坐标为(m,-m+1)且当x=m时,y=-m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上,故结论①正确;②假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m≤1,解得:x=m--𝑚+1,x=m+-𝑚+1,∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|-m+1|=|m-(m--𝑚+1)|,解得:m=0或1,∴存在m=0或1,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确;③x1+x22m,∴𝑥1+𝑥22m.∵二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)图象的对称轴为直线x=m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1x2,且-10,∴y1y2,故结论③错误;④当-1x2时,y随x的增大而增大,且-10,∴m的取值范围为m≥2.故结论④正确.故选C.考向二二次函数的最值问题[答案]D[解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7.故选D.例2[2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3内的取值范围,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2|考向精练|1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图13-2,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值0,最大值6D.有最小值2,最大值6图13-2B2.[2019·资阳]如图13-3是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤0C.0≤m≤1D.m≥1或m≤0图13-3[答案]C[解析]如图①所示,当m等于0时,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴顶点坐标为(1,-4),当x=0时,y=-3,∴A(0,-3),当x=4时,y=5,∴C(4,5),∴当m=0时,D(4,-5),∴此时最大值为0,最小值为-5,符合条件;如图②所示,当m=1时,此时最小值为-4,最大值为1,符合条件.综上所述:满足条件的m的取值范围为0≤m≤1,故选C.3.[2019·荆州]二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是.[答案]7[解析]y=-2x2-4x+5=-2(x+1)2+7,即二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是7,故答案为7.4.已知二次函数y=ax2-4ax+3a.(1)若a=1,则函数y的最小值为;(2)若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为.[答案](1)-1[解析](1)当a=1时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1.∵a=10,∴抛物线的开口向上,当x=2时,函数y的最小值为-1.4.已知二次函数y=ax2-4ax+3a.(2)若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为.[答案](2)43或-4(2)∵二次函数y=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a,∴抛物线的对称轴是直线x=2,∵1≤x≤4,∴当a0时,抛物线开口向上,在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大,当x=4时y有最大值,a×(4-2)2-a=4,解得a=43.当a0时,抛物线开口向下,x=2时y有最大值,a×(2-2)2-a=4,解得a=-4.综上,a=43或-4.考向三二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系