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第11课时一次函数的应用考点一次函数的应用考点聚焦1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定自变量的取值范围.题组一教材题对点演练1.[八下P98练习改编]考虑下面两种移动电话计费方式:用函数方法解答当一个月通话分钟时两种计费方式费用相等.方式一方式二月租费/(元/月)300本地通话费/(元/min)0.300.40[答案]300[解析]设一个月通话时间为x分钟,按方式一要收费(30+0.3x)元,按方式二要收费0.4x元.如果两种计费方式费用相等,则0.4x=30+0.3x,解得x=300.所以当一个月通话300分钟时两种计费方式费用相等.2.[八下P109复习题19第13题改编]一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,在随后的8min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图11-1所示.(1)当0≤x≤4时,y关于x的函数解析式是;(2)当4x≤12时,y关于x的函数解析式是;(3)每分钟进水L,出水L.y=5x图11-15y=𝟓𝟒x+15𝟏𝟓𝟒3.一根蜡烛长30cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时蜡烛剩余的长度h(cm)和燃烧时间t(h)之间的函数关系用图象可以表示为图中的()题组二易错题【失分点】实际问题中自变量的取值往往有一定的限制,在写函数解析式和画函数图象时要考虑自变量的取值范围.图11-2[答案]B[解析]由题意,得h=30-5t,∵h≥0,t≥0,∴30-5t≥0,∴t≤6,∴0≤t≤6,∴h=30-5t是随着t的增加,h越来越小的函数且图象是一条线段.4.超市有A,B两种型号的瓶子,其容量和价格如下表,小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满,且无剩油).当日促销活动:购买A型瓶3个或以上,一次性返还现金5元,设购买A型瓶x(个),所需总费用为y(元),则下列说法不一定成立的是()A.购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值B.购买A型瓶最多为6个C.y与x之间的函数关系式为y=x+30D.小张买瓶子的最少费用是28元型号AB单个瓶子容量(升)23单价(元)56[答案]C[解析]∵买瓶子用来分装15升油,瓶子都装满,且无剩油,∴购买B型瓶的个数是15-2𝑥3=5-23x,∵瓶子的个数为自然数,∴x=0时,5-23x=5;x=3时,5-23x=3;x=6时,5-23x=1.∴购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值,故A成立;由上可知,购买A型瓶的个数为0个或3个或6个,所以购买A型瓶的个数最多为6个,故B成立;①当0≤x3时,y=5x+6×5-23x=x+30,∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=0时,y有最小值,最小值为30元;②当x≥3时,y=5x+6×5-23x-5=25+x,∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=3时,y有最小值,最小值为28元.综合①②可得,购买瓶子所需要最少费用为28元.故C不成立,D成立.考向一图像信息类分段函数问题例1为增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练,有一次女子800米耐力测试中,小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑,同时到达终点.所跑的路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图11-3所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒.图11-3[答案]120[解析]如图,设直线OA的解析式为s=kt,代入(200,800)得800=200k,解得k=4,故直线OA的解析式为s=4t,设BC的解析式为s1=k1t+b,由题意,得360=60𝑘1+𝑏,540=150𝑘1+𝑏,解得𝑘1=2,𝑏=240,∴BC的解析式为s1=2t+240,当s=s1时,4t=2t+240,解得:t=120.则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒.[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地,已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图11-4所示,请结合图象解答下列问题:(1)货车的速度是千米/时;轿车的速度是千米/时;t的值为;|考向精练|图11-4[答案](1)80503[解析]货车的速度是50千米/时;轿车的速度为240÷3=80(千米/时);t的值为(7-1)÷2=3(小时).(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.图11-4[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地,已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图11-4所示,请结合图象解答下列问题:(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;图11-4(2)由(1)得A(3,240),B(4,240),C(7,0).设直线OA的解析式为y=kx,∵A(3,240),∴y=80x(0≤x3).当3≤x4时,y=240.设直线BC的解析式为y=kx+b.∵B(4,240),C(7,0),∴4𝑘+𝑏=240,7𝑘+𝑏=0,∴𝑘=-80,𝑏=560,∴y=-80x+560(4≤x≤7).∴y=80𝑥(0≤𝑥3),240(3≤𝑥4),-80𝑥+560(4≤𝑥≤7).[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地,已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图11-4所示,请结合图象解答下列问题:(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.图11-4(3)货车出发3小时或5小时时两车相距90千米.考向二利用一次函数进行方案选择例2[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图11-5所示,解答下列问题:(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式;(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.图11-5解:(1)设y甲=kx,把(5,100)代入得100=5k,∴k=20,∴y甲=20x;设y乙=k1x+b,把(0,100)和(20,300)分别代入,得𝑏=100,20𝑘1+𝑏=300,解得𝑘1=10,𝑏=100,∴y乙=10x+100.例2[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图11-5所示,解答下列问题:(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.(2)解方程组𝑦=20𝑥,𝑦=10𝑥+100,得𝑥=10,𝑦=200,∴B(10,200),∴当0x10时,y甲y乙,即选择甲种消费卡合算;当x10时,y甲y乙,即选择乙种消费卡合算;当x=10时,y甲=y乙,即选择两种卡消费一样.图11-5【方法点析】此类问题一般涉及两个或多个函数解析式,分别对应不同的方案.求解时,若自变量的值已知,则将自变量的取值分别代入不同的函数解析式,比较函数值的大小,做出选择;若自变量的值未知,则需根据解析式分类讨论,借助不等式比较各种方案在自变量不同取值下的最优结果.[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x0).(1)根据题意填表:|考向精练|一次购买数量/千克3050150…甲批发店花费/元300…乙批发店花费/元350…180210900850[解析]一次购买30千克,不超过50千克,∴在甲批发店花费180元,在乙批发店花费210元;一次购买150千克,超过50千克,∴在甲批发店花费900元,在乙批发店花费850元.(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;(3)根据题意填空:①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为千克;②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120千克,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少;③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多.[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x0).(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;(2)y1=6x(x0);当0x≤50时,y2=7x;当x50时,y2=5x+100.[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x0).(3)根据题意填空:①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为千克;②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120千克,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少;③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多.(3)[答案]①100②乙③甲[解析]①当y1=y2时,6x=5x+100,∴x=100.②当x=120时,y1=6x=720;y2=5x+100=700,∵720700,∴在乙批发店购买花费少.③当y1=360时,x=60;当y2=360时,x=52,∵6052,∴在甲批发店购买数量多.考向三利用一次函数增减性解决最值应用问题例3[2018·湖州]“绿水青山就是金山银山”,为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:路程(千米)甲仓库乙仓库A果园1525B果园2020设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,已知汽车每吨每千米的运费为2元.(1)根据题意,填写下表.(2)设总运费为y元,求y关于x的函