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第8课时一元一次不等式(组)考点一不等式的有关概念考点聚焦1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.1考点二不等式的性质性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.x≤axb不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀⑦同大取大⑧同小取小⑨大小小大中间找⑩大大小小没有解x≥a,x𝑏x≤a,x𝑏x≥a,x𝑏x≤a,x𝑏无解a≤xb考点四不等式的实际问题求解步骤:认真审题,找出题目中的不等关系,根据题目中的不等关系列出不等式,解不等式,检验作答.【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.题组一教材题对点演练1.[七下P117练习]设ab,用“”或“”填空:(1)a+2b+2;(2)a-3b-3;(3)-4a-4b;(4)𝑎2𝑏2.x≤𝟓𝟒x≤12.[七下P124练习第1(4)题改编]不等式𝑥+16≥2𝑥-54+1的解集是.3.[七下P133复习题9第3(4)题]不等式组-3(𝑥-2)≥4-𝑥,1+2𝑥3𝑥-1的解集是.题组二易错题【失分点】注意不等式两边同时乘以或除以一个负数时,不等号的方向要改变;在数轴上表示不等式的解集时,注意实心点与空心圈的区别;列不等式时未注意是“”(或“”)还是“≥”(或“≤”).D4.[2019·广安]若mn,则下列不等式不一定成立的是()A.m+3n+3B.-3m-3nC.𝑚3𝑛3D.m2n25.[2019·赤峰]不等式组𝑥+1≥2,9-𝑥2𝑥的解集在数轴上表示正确的是()图8-16.为有效开展“阳光体育”活动,某校计划购买篮球和足球共50个,购买资金不超过3000元.若每个篮球80元,每个足球50元,则篮球最多可购买()A.16个B.17个C.33个D.34个CA考向一不等式的性质例1若ab,且c为实数,有下列不等关系:①acbc;②ac2bc2;③ac2≥bc2;④𝑎𝑐𝑏𝑐,其中成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]A[解析]当c=0时,不等式acbc,ac2bc2不成立,故①②错误;当c≠0时,ac2bc2,当c=0时,ac2=bc2,故c为实数时,ac2≥bc2,故③正确;当c0时,不等式𝑎𝑐𝑏𝑐不成立,故④错误.【方法点析】运用不等式的性质时,应注意两点:①不等式的两边同时乘以或者除以一个负数,不等号的方向要改变;②不等式的两边同时乘以或除以一个参数时,注意参数是否能取0.|考向精练|若mn,则下列不等式中一定成立的是()A.𝑚𝑛B.-𝑚2-𝑛2C.5-m5-nD.m2n2C考向二一元一次不等式的解法例2[2019·攀枝花]解不等式𝑥-25−𝑥+42-3,并把它的解集在数轴上表示出来.解:去分母得2(x-2)-5(x+4)-30,去括号得2x-4-5x-20-30,整理得-3x-6,解得x2.不等式的解集在数轴上表示为:图8-2|考向精练|1.[2019·陇南]不等式2x+9≥3(x+2)的解集是()A.x≤3B.x≤-3C.x≥3D.x≥-3A2.已知关于x的不等式2𝑚-𝑚𝑥212x-1.(1)当m=1时,求该不等式的解集;(2)m取何值时,该不等式有解,并求出解集.解:(1)当m=1时,原不等式为2-𝑥212x-1,解得x2.(2)2𝑚-𝑚𝑥212x-1,整理得(m+1)x2(m+1),当m≠-1时,不等式有解;当m-1时,原不等式的解集为x2;当m-1时,原不等式的解集为x2.考向三一元一次不等式组的解法例3(1)不等式组𝑥-120,1-2𝑥3的解集为.(2)不等式组𝑥-4≤1,𝑥+122的解集是.(3)不等式组𝑥-112,𝑥13的解集为.(4)不等式组3𝑥-12𝑥,-5𝑥≥0的解集是.x𝟏𝟐x≤03x≤5无解【方法点析】解不等式组必须先解出不等式组中的每个不等式,再找公共部分.公共部分可按“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了”来找.|考向精练|1.[2019·江西]解不等式组:2(𝑥+1)𝑥,1-2𝑥≥𝑥+72,并在数轴上表示它的解集.图8-3解:2(𝑥+1)𝑥,①1-2𝑥≥𝑥+72,②解①得,x-2,解②得,x≤-1,∴不等式组的解集为-2x≤-1.在数轴上表示为:2.[2019·扬州]解不等式组4(𝑥+1)≤7𝑥+13,𝑥-4𝑥-83,并写出它的所有负整数解.解:解不等式4(x+1)≤7x+13,得x≥-3;解不等式x-4𝑥-83,得x2,则不等式组的解集为-3≤x2,所以不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.考向四与不等式(组)的解集有关的问题例4[2019·内江]若关于x的不等式组𝑥2+𝑥+130,3𝑥+5𝑎+44(𝑥+1)+3𝑎恰有三个整数解,则a的取值范围是()A.1≤a32B.1a≤32C.1a32D.a≤1或a32[答案]B[解析]解不等式𝑥2+𝑥+130,得x-25;解不等式3x+5a+44(x+1)+3a,得x2a.∵不等式组恰有三个整数解,∴这三个整数解为0,1,2,∴22a≤3,解得1a≤32.|考向精练|[答案]k≤-21.[2019·包头]已知不等式组2𝑥+9-6𝑥+1,𝑥-𝑘1的解集为x-1,则k的取值范围是.[解析]解2x+9-6x+1,得x-1.解x-k1,得xk+1.∵不等式组的解集为x-1,∴k+1≤-1,解得k≤-2.2.[2019·聊城]若不等式组𝑥+13𝑥2-1,𝑥4𝑚无解,则m的取值范围为()A.m≤2B.m2C.m≥2D.m2[答案]C[解析]𝑥+13𝑥2-1,①𝑥4𝑚,②解不等式①,得x8;由不等式②,知x4m,当4m≤8时,原不等式组无解,∴m≤2,故选A.3.[2019·重庆B卷]若数a使关于x的不等式组𝑥3-2≤14(𝑥-7),6𝑥-2𝑎5(1-𝑥)有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1-2𝑦𝑦-1−𝑎1-𝑦=-3的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.-3B.-2C.-1D.1[答案]A[解析]第一部分:解一元一次不等式组𝑥3-2≤14(𝑥-7),①6𝑥-2𝑎5(1-𝑥),②解不等式①,得:x≤3,解不等式②,得:x5+2𝑎11.因为有且仅有三个整数解,所以三个整数解分别为:3,2,1.所以5+2𝑎11的范围为0≤5+2𝑎111,解得-2.5≤a3.第二部分:求分式方程1-2𝑦𝑦-1−𝑎1-𝑦=-3的解,得y=2-a,根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得𝑦0,𝑦≠1,即2-𝑎0,2-𝑎≠1,解得:a2且a≠1.第三部分:根据第一部分a的范围和第二部分a的范围,找出a的公共范围:-2.5≤a2且a≠1,所以满足条件的整数a为-2,-1,0.它们的和为:-2-1+0=-3.故选A.考向五一元一次不等式的实际应用例5[2019·资阳]为了参加西部博览会,资阳市计划印制一批宣传册.该宣传册每本共10页,由A,B两种彩页构成.已知A种彩页制版费300元/张,B种彩页制版费200元/张,共计2400元.(注:彩页制版费与印数无关)(1)每本宣传册A,B两种彩页各有多少张?(2)据了解,A种彩页印刷费2.5元/张,B种彩页印刷费1.5元/张,这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元.如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册,预计最多能发给多少位参观者?解:(1)设每本宣传册A,B两种彩页各有x张,y张,由题意得𝑥+𝑦=10,300𝑥+200𝑦=2400,解得:𝑥=4,𝑦=6,答:每本宣传册A种彩页有4张,B种彩页有6张.例5[2019·资阳]为了参加西部博览会,资阳市计划印制一批宣传册.该宣传册每本共10页,由A,B两种彩页构成.已知A种彩页制版费300元/张,B种彩页制版费200元/张,共计2400元.(注:彩页制版费与印数无关)(2)据了解,A种彩页印刷费2.5元/张,B种彩页印刷费1.5元/张,这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元.如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册,预计最多能发给多少位参观者?(2)设能发给a位参观者,可得:2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900,解得a≤1500.答:最多能发给1500位参观者.【方法归纳】(1)解决不等式的实际问题时，注意利用题中表示不等关系的关键词，如“不超过”“至少”等；(2)以图表形式出现的实际问题，常用方程和不等式的方法解决.解决的关键是分析图表，找出相等关系和不等关系，列出方程或不等式;(3)注意所求结果应符合生活实际.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?|考向精练|解:(1)设B种粽子单价为x元,则A种粽子单价为1.2x元,因为购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同,共花费3000元,所以两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500𝑥+15001.2𝑥=1100,解得x=2.5.经检验,x=2.5是原分式方程的解.1.2x=3.答:A种粽子单价为3元,B种粽子单价为2.5元.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?(2)设购进A种粽子y个,则购进B种粽子(2600-y)个,根据题意得:3y+2.5(2600-y)≤7000,解得:y≤1000.∴y的最大值为1000,故A种粽子最多能购进1000个.