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第7课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图7-1未知数最简公分母3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.0考点二分式方程的实际应用1.一般步骤2.双检验:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验是否符合变量的实际意义.图7-23.常见类型及关系式行程问题:路程速度=时间工程问题:工作总量工作效率=工作完成时间销售问题:总价单价=数量,总价数量=单价题组一教材题对点演练1.[八上P152练习(1)(2)(3)改编](1)解方程12𝑥=2𝑥+3得;(2)解方程𝑥𝑥+1=2𝑥3𝑥+3+1得;(3)解方程2𝑥-1=4𝑥2-1得.x=-𝟑𝟐无解x=12.[八上P159复习题15第8题改编]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.[答案]200[解析]设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x-50)台,依题意得600𝑥=450𝑥-50,解得x=200.检验:当x=200时,x(x-50)≠0.∴x=200是原分式方程的解且符合题意,∴现在平均每天生产200台机器.3.[八上P154练习第1题改编]八年级学生去距学校10km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,则骑车学生的速度是km/h.[答案]15[解析]设骑车学生的速度是xkm/h,则汽车的速度是2xkm/h,由题意得10𝑥−102𝑥=13,解得x=15.经检验,x=15是所列方程的解,且符合实际意义,所以骑车学生的速度是15km/h.[答案]90kg60kg4.[八上P155习题15.3第4题改编]A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等,A型机器人每小时搬运化工原料,B型机器人每小时搬运化工原料.[解析]设B型机器人每小时搬运xkg化工原料,则A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料.∵A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等,∴可列方程为900𝑥+30=600𝑥,解此分式方程得x=60,检验:当x=60时,x(x+30)≠0,且符合实际意义,∴x=60是分式方程的解.当x=60时,x+30=90.故A型机器人每小时搬运90kg化工原料,B型机器人每小时搬运60kg化工原料.题组二易错题【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;忘记检验根的合理性;混淆增根和无解.D5.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解6.若关于x的方程𝑥+2𝑥+3=𝑚𝑥+3无解,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2B[答案]2[解析]方程两边同乘(x-3),得:x-5=-m,x=5-m,若方程产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3.解得m=2.7.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.考向一分式方程的解法例1[2019·泰州]解方程:2𝑥-5𝑥-2+3=3𝑥-3𝑥-2.解:去分母得:2x-5+3(x-2)=3x-3,去括号得:2x-5+3x-6=3x-3,移项,合并同类项得:2x=8,系数化为1得:x=4,经检验,x=4是原分式方程的解.【方法点析】解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘不含分母的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.|考向精练|1.[2019·株洲]关于x的分式方程2𝑥−5𝑥-3=0的解为()A.-3B.-2C.2D.3B解:方程两边都乘以(x+1)(x-1)得,x(x+1)-(x2-1)=3,即x2+x-x2+1=3,解得x=2.检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,∴x=2是原方程的解,故原分式方程的解是x=2.2.[2019·南京]解方程:𝑥𝑥-1-1=3𝑥2-1.考向二与分式方程有关的概念问题例2[2017·攀枝花]若关于x的分式方程7𝑥-1+3=𝑚𝑥𝑥-1无解,则实数m=.[答案]7或3[解析]将分式方程化为整式方程,得7+3(x-1)=mx,整理得(m-3)x=4,∵分式方程无解分为整式方程无解和整式方程的解为分式方程的增根,∴当整式方程无解时,m-3=0,即m=3;当整式方程的解为增根时,x=1,∴m-3=4,即m=7.【方法点析】把分式方程化成整式方程后,求出整式方程的解,若代入分式方程的分母恰好等于0,则此解是分式方程的增根.|考向精练|[答案]3[2019·烟台]若关于x的分式方程3𝑥𝑥-2-1=𝑚+3𝑥-2有增根,则m的值为.[解析]方程两边都乘(x-2),得3x-x+2=m+3,∴x=𝑚+12.∵原方程有增根,∴x-2=0,解得x=2,当x=2时,m=3.考向三分式方程的实际应用解:设原计划平均每天施工x平方米,则33000𝑥−330001.2𝑥=11,解得x=500,经检验,x=500是原分式方程的解,且符合题意,∴实际平均每天施工为500×(1+20%)=600(平方米).答:实际平均每天施工为600平方米.例3[2018·岳阳]为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除,回填土方和复绿施工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米?【方法点析】列分式方程解决实际问题时,需要验根两次,一是检验整式方程的解是否是原分式方程的解,二是检验是否符合实际问题的意义.|考向精练|1.[2019·济宁]世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程是()A.500𝑥−50010𝑥=45B.50010𝑥−500𝑥=45C.5000𝑥−500𝑥=45D.500𝑥−5000𝑥=45[答案]A[解析]由题意知:4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,则5G网络的峰值速率为每秒传输10x兆数据,4G传输500兆数据用的时间是500𝑥,5G传输500兆数据用的时间是50010𝑥,5G网络比4G网络快45秒,所以500𝑥−50010𝑥=45.2.[2018·临沂]新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场,一汽贸公司经销某品牌新能源汽车,去年销售总额为5000万元.今年1-5月份,每辆车的销售价格比去年降低1万元,销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%.今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是()A.5000𝑥+1=5000(1-20%)𝑥B.5000𝑥+1=5000(1+20%)𝑥C.5000𝑥-1=5000(1-20%)𝑥D.5000𝑥-1=5000(1+20%)𝑥[答案]A[解析]去年一整年的销售数量用代数式5000𝑥+1表示,今年1-5月份的销售数量用代数式5000×(1-20%)𝑥表示,根据相等关系“今年1-5月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程5000𝑥+1=5000×(1-20%)𝑥,故选A.3.[2019·扬州]“绿水青山就是金山银山”,为了更进一步优化环境,甲、乙两队承担河道整治任务.甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米,且甲工程队整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等.求甲工程队每天整治多少米?解:设甲工程队每天整治x米,则乙工程队每天整治(1500-x)米,根据题意可得:3600𝑥=24001500-𝑥,解得x=900,经检验,x=900是原方程的根,且符合题意.答:甲工程队每天整治900米.4.[2019·菏泽]列方程(组)解应用题:德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019年8月竣工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度.解:设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/时,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/时,由题意,得811.8𝑥+3660=81𝑥.解得x=60.经检验,x=60是所列方程的根,且符合题意.所以1.8x=108.答:汽车在高速公路上的平均速度是108千米/时.考向四解与分式方程特殊解有关的问题例4[2019·宿迁]关于x的分式方程1𝑥-2+𝑎-22-𝑥=1的解为正数,则a的取值范围是.[答案]a5且a≠3[解析]去分母得1-a+2=x-2,解得x=5-a,由5-a0,解得a5.当x=5-a=2时,a=3不合题意,故a5且a≠3.|考向精练|[答案]C1.若关于x的分式方程2𝑥-𝑎𝑥-2=12的解为非负数,则a的取值范围是()A.a≥1B.a1C.a≥1且a≠4D.a1且a≠4[解析]去分母得:2(2x-a)=x-2,解得x=2𝑎-23,由题意,得2𝑎-23≥0且2𝑎-23≠2,解得a≥1且a≠4.2.[2019·重庆A卷]若关于x的一元一次不等式组𝑥-14(4𝑎-2)≤12,3𝑥-12𝑥+2的解集是x≤a,且关于y的分式方程2𝑦-𝑎𝑦-1−𝑦-41-𝑦=1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为()A.0B.1C.4D.6[答案]B[解析]原不等式组可化为𝑥≤𝑎,𝑥5,而它的解集是x≤a,从而a5;对于分式方程两边同乘以(y-1),得2y-a+y-4=y-1,解得y=𝑎+32.而原方程有非负整数解,故𝑎+32≥0,𝑎+32≠1且𝑎+32为整数,从而在a≥-3且a≠-1且a5的整数中,a的值只能取-3,1,3这三个数,它们的和为1,故选B.