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第6课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式图6-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时要减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程的根与系数的关系两个不相等1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个相等-𝒃𝒂没有𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一教材题对点演练1.[九上P9练习第1题]填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2;(3)x2+5x+=(x+)2;(4)x2-23x+=(x-)2.𝟓𝟐𝟐𝟓𝟒525636𝟏𝟗𝟏𝟑2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是;(2)方程3x2+6x-4=0的解是;(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是.x1=-3,x2=-7x1=-𝟑+𝟐𝟏𝟑,x2=-𝟑+𝟐𝟏𝟑x1=-1,x2=13.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有个队参加比赛.[答案]10[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是.[答案]10%[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=,x1x2=;(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=,x1x2=;(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=,x1x2=;(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=,x1x2=.-25-104-7-𝟕𝟐𝟏𝟐𝟐𝟑题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.x=1或x=26.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.[答案]a-13且a≠0[解析]∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22-4a(-3)0,解得a-13且a≠0.考向一一元二次方程的有关概念例1[2019·南京]已知2+3是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根,则m=.[答案]1[解析]把x=2+3代入方程,得(2+3)2-4(2+3)+m=0,解得m=1.|考向精练|1.[2019·济宁]已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是.[答案]-2[解析]方法1:把x=1代入x2+bx-2=0,得1+b-2=0,解得b=1,∴方程是x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2.方法2:设方程的另一个根为t,由根与系数的关系知1·t=-2,∴t=-2.2.[原创]关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,求出a的值和方程的另一个根.解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,∴a2-4=0,且a-2≠0,∴a+2=0,解得a=-2.则一元二次方程为-4x2+x=0,即x(1-4x)=0,解得x1=0,x2=14,∴方程的另一个根是14.综上所述,a的值是-2,方程的另一个根是14.考向二一元二次方程的解法解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.∴原方程的根为x1=3,x2=9.(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,x1=3,x2=9.例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如𝑥+𝑚2=n𝑛≥0的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.|考向精练|解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,∴x1=3,x2=-1.解下列方程:(1)[2019·安徽](x-1)2=4;(2)[2019·齐齐哈尔]x2+6x=-7;(3)[2019·常德]x2-3x-2=0.(2)∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,∴(x+3)2=2,∴x+3=±2,∴x=-3±2,∴x1=-3+2,x2=-3-2.(3)x2-3x-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,∴Δ=b2-4ac=17,∴x1=3+172,x2=3-172.考向三一元二次方程根的判别式解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18且m≠1.例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,m-1≠0,∴m=-18,原方程可变形为-98x2-34x-18=0,解得x1=x2=-13.例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根.(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,m-1≠0,∴m-18.【方法点析】对于一元二次方程:(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”判断根的情况.|考向精练|1.[2018·成都]若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.解:由题意可知,Δ=-(2𝑎+1)2-4×1×a2=(2a+1)2-4a2=4a+1.∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ0,即4a+10,解得a-14.2.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.解:∵x2-2x+2m-1=0有实数根,∴Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤1.∵m为正整数,∴m=1,故此时方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x1=x2=1,∴m=1,此时方程的根为x1=x2=1.考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)例4[原创]设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值.(1)(x1-1)(x2-1)=;(2)1𝑥1+1𝑥2=.[答案](1)32(2)43[解析]根据题意得x1+x2=-2,x1x2=-32.(1)原式=x1x2-(x1+x2)+1=-32-(-2)+1=32.(2)原式=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=-2-32=43.【方法点析】(1)用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验.(2)一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值,体现了整体思想.|考向精练|[答案]0[解析]∵x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,∴x1+x2=1,x1x2=-1,∴x1+x2+x1x2=1+(-1)=0.1.[2019·江西]设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2=.2.[2017·黄冈]已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求𝑥12+𝑥22的值.解:(1)∵方程①有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k+1)2-4×1×k20,解得:k-14.∴k的取值范围是k-14.(2)当k=1时,方程①为x2+3x+1=0,由根与系数的关系可得:x1+x2=-3,x1x2=1,∴𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×1=9-2=7.考向五一元二次方程的实际应用解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.例5[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?例5[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【方法点析】变化率问题牢记公式a(1+x)n=b,其中a表示增长(或降低)前的数据,x表示增长率(或降低率),n表示增长(或降低)的次数,b表示增长(或降低)后的数据.|考向精练|1.