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第5课时一次方程(组)及其应用考点一方程的有关概念考点聚焦𝟏.方程:含有未知数的①.等式ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by=0(a,b为常数,且a≠0,b≠0)𝟐.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.𝟑.一元一次方程的一般形式:②.𝟒.二元一次方程的一般形式:③.5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.考点二一次方程(组)的解法1.等式的基本性质:性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.=图5-1bc𝒂𝒄2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的性质):3.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:消元转化代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)考点三一次方程(组)的实际应用图5-2【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.题组一教材题对点演练1.[七上P111复习题3第2(1)(4)题改编]写出下列方程的解:(1)43-8x=3-112x,x=;(2)1-2𝑥3=3𝑥+17-3,x=.-𝟐𝟑𝟔𝟕𝟐𝟑2.[七下P98习题8.2第5题改编](1)解方程组3(𝑥-1)=𝑦+5,5(𝑦-1)=3(𝑥+5),得;(2)解方程组2𝑢3+3𝑣4=12,4𝑢5+5𝑣6=715,得.𝒙=𝟓,𝒚=𝟕𝒖=-𝟑𝟐,𝒗=𝟐3.[七上P112复习题3第10题改编]一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元.试讨论并回答:(1)当时,购会员证与不购证付一样的钱;(2)当时,购会员证比不购证合算;(3)当时,不购会员证比购证合算.游泳次数为40次游泳次数多于40次游泳次数少于40次题组二易错题4.在解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时,方程两边同时乘以6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+6x=3(3x+1)C.2(x-1)+x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(x+1)【失分点】去分母时出现漏乘常数项导致错误;利用加减法解二元一次方程组,两方程相减时,出现符号错误.B5.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16①,2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1.则上述步骤中开始出现错误的是第步.二考向一等式的概念及性质例1判断正误:(1)如果a=b,那么a+c=b-c;()(2)如果𝑎𝑐=𝑏𝑐,那么a=b;()(3)如果a=b,那么𝑎𝑐=𝑏𝑐;()(4)如果a=3,那么a2=3a2.()[解析](1)利用等式性质1,两边都加c,得到a+c=b+c,所以错误;(2)利用等式性质2,两边都乘以c,得到a=b,正确;(3)因为c必须不为0,所以不正确;(4)因为a2=9,3a2=27,所以a2≠3a2,所以不正确.×√××|考向精练|D1.下列运用等式的性质变形错误的是()A.若a=b,则a+6=b+6B.若-3x=-3y,则x=yC.若n+3=m+3,则m=nD.若x=y,则𝑥2=𝑦3C2.已知3a=2b+5,则下列等式不一定成立的是()A.3a-5=2bB.3a+1=2b+6C.3ac=2bcD.a=2𝑏3+53考向二一元一次方程的解法例2解方程:(1)4x-3=2(x-1).(2)2𝑥+53-4=𝑥-32.解:(1)4x-3=2(x-1),去括号,得4x-3=2x-2,移项,得4x-2x=-2+3,合并同类项,得2x=1,系数化为1,得x=12.(2)去分母,得2(2x+5)-24=3(x-3),去括号,得4x+10-24=3x-9,移项、合并同类项,得x=5.【解析】方程去括号，移向，合并同类项后，把x的系数化为1，即可求出解.【方法点析】在去分母时,注意两点:(1)不要漏乘不含分母的项;(2)对分子添括号.|考向精练|[2018·攀枝花]解方程𝑥-32−2𝑥+13=1.解:去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号,得3x-9-4x-2=6,移项,得3x-4x=6+9+2,合并同类项,得-x=17,系数化为1,得x=-17.考向三二元一次方程组的解法例3用指定方法解方程组:𝑥-2𝑦=-4,3𝑥+4𝑦=18.(1)代入法:(2)加减法:解:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18.②(1)由①得x=2y-4,③把③代入②,得3(2y-4)+4y=18,解得y=3.把y=3代入③,得x=2,则方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.(2)①×2得:2x-4y=-8,③②+③得:5x=10,解得x=2,把x=2代入①,得2-2y=-4,解得y=3,所以方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.【方法点析】(1)当方程组中一个未知数的系数为1(或-1)或一个方程的常数项为0时,用代入法较方便;(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较方便.|考向精练|1.[2019·苏州]若a+2b=8,3a+4b=18,则a+b的值为.[答案]5[解析]解方程组𝑎+2𝑏=8,①3𝑎+4𝑏=18,②由①得a=8-2b,③将③代入②,解得b=3,把b=3代入③,得a=2,所以𝑎=2,𝑏=3,故a+b=5.故答案为5.2.[2019·金华]解方程组:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,𝑥-2𝑦=1.解:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,①𝑥-2𝑦=1.②由①得,-x+8y=5,③②+③,得6y=6,解得y=1.把y=1代入②,得x-2×1=1,解得x=3.∴原方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.3.[2018·嘉兴]用消元法解方程组𝑥-3𝑦=5,①4𝑥-3𝑦=2②时,两位同学的解法如下:解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②,得3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“×”.(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.解:(1)解法一中的计算有误(标记略).(2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2.所以原方程组的解是𝑥=-1,𝑦=-2.考向四含有参数的方程组问题例4已知关于x,y的二元一次方程组𝑎𝑥-𝑦=4,3𝑥+𝑏𝑦=4的解是𝑥=2,𝑦=-2,则a+b的值是.[答案]2[解析]将𝑥=2,𝑦=-2代入方程组,得:2𝑎+2=4,6-2𝑏=4,解得:𝑎=1,𝑏=1,所以a+b=2.|考向精练|1.[2019·菏泽]已知𝑥=3,𝑦=-2是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3的解,则a+b的值是()A.-1B.1C.-5D.5[答案]A[解析]将𝑥=3,𝑦=-2代入𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3,可得:3𝑎-2𝑏=2,3𝑏-2𝑎=-3,两式相加得:a+b=-1,故选A.2.[2018·滨州]若关于x,y的二元一次方程组3𝑥-𝑚𝑦=5,2𝑥+𝑛𝑦=6的解是𝑥=1,𝑦=2,则关于a,b的二元一次方程组3(𝑎+𝑏)-𝑚(𝑎-𝑏)=5,2(𝑎+𝑏)+𝑛(𝑎-𝑏)=6的解是.[答案]𝒂=𝟑𝟐,𝒃=-𝟏𝟐[解析]∵关于x,y的二元一次方程组3𝑥-𝑚𝑦=5,2𝑥+𝑛𝑦=6的解是𝑥=1,𝑦=2,∴由关于a,b的二元一次方程组3(𝑎+𝑏)-𝑚(𝑎-𝑏)=5,2(𝑎+𝑏)+𝑛(𝑎-𝑏)=6可知𝑎+𝑏=1,𝑎-𝑏=2,解得𝑎=32,𝑏=-12.考向五一次方程(组)的实际应用解:设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元,根据题意可得:12𝑦+20𝑥=112,12𝑥+20𝑦=144,解得:𝑥=2,𝑦=6,答:中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元.例5[2019·陇南]小甘到文具超市去买文具.请你根据如图5-3中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元.图5-3【方法点析】用方程或方程组解决实际问题的关键是找出题中存在的等量关系列出方程;找等量关系时,要抓住关键词语,如多、少、共、几分之几、倍等.设未知数时,可采取直接设元,也可以采取间接设元.|考向精练|数学文化[2018·安徽]《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:“今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽,问城中家几何?”大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问城中有多少户人家?请解答上述问题.解:设城中有x户人家,由题意得x+13x=100,解得x=75.答:城中有75户人家.