（全国）2019版中考数学复习 题型突破（五）点运动型问题课件

题型突破（五）点运动型问题题型解读动点问题一般是指在一个几何图形的背景下,一个或两个点在运动过程中构成了新的几何图形,由此而产生的问题,它往往考查学生对图形把握的直觉能力、空间想象能力以及从变化中看到不变的数学洞察力,培养学生用运动变化的观点看待周围世界,以及特殊与一般、动与静的辩证观点.解题关键:一是要做到动中求静,构建未知量与已知量之间的关系式;二是要分析图形的特性,如特殊角、特殊图形的性质,图形的特殊位置等.解:(1)∵AB=7,7÷2=3.5,∴0≤t≤3.5,由图象可知y=t,∴t=1时,y=1,∴12·AE·2=1,∴AE=1.故答案分别为0≤t≤3.5;1.类型1动点与几何图形综合型问题例1如图Z5-1①,矩形ABCD中,AB=7cm,AD=4cm,点E为AD上一定点,点F为AD延长线上一点,且DF=acm,点P从点A出发,沿AB边向点B以2cm/s的速度运动,连接PE,设点P运动的时间为ts,△PAE的面积为ycm2,当0≤t≤1时,△PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图②所示,连接PF,交CD于点H.(1)t的取值范围为,AE=cm.(2)如图③,将△HDF沿线段DF进行翻折,与CD的延长线交于点M,连接AM,当a为何值时,四边形PAMH为菱形?并求出此时点P的运动时间t.图Z5-1类型1动点与几何图形综合型问题(3)如图④,当点P出发1s后,AD边上另一动点Q从点E出发,沿ED边向点D以1cm/s的速度运动,如果P,Q两点中的任意一点到达终点后,另一点也停止运动,连接PQ,QH.若a=43cm,请问△PQH能否成为直角三角形?若能,请求出点P的运动时间t;若不能,请说明理由.图Z5-1类型1动点与几何图形综合型问题【分层分析】(1)点P运动的路程为AB=7cm,速度为2cm/s,由此你能求出t的取值范围吗?(2)观察图②,y与t是什么函数关系?当t=1s时,△APE的面积为多少?由此你能求出AE吗?(3)观察图③,当四边形AMHP是菱形时,你能证明∠MAD=∠MFD=30°吗?如何证明?相应地能求出DF吗?(4)若△PQH是直角三角形,直角是哪个?有几种情况?(5)若∠PQH为直角,则△APQ∽△DQH,从而得𝐴𝑃𝐷𝑄=𝐴𝑄𝐷𝐻,求出DH=4-𝑡2,再由DH∥AP,得𝐷𝐻𝐴𝑃=𝐷𝐹𝐴𝐹,你能列出方程求解吗?(6)若∠PHQ为直角,作PM⊥CD于M,利用相似三角形的性质,你能列出方程求解吗?类型1动点与几何图形综合型问题【方法点析】所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.(2)∵四边形AMHP是菱形,∴AM=MH=2DM,AM∥PF,∵∠ADM=90°,∴∠MAD=30°,∴∠PFA=∠MFA=∠MAD=30°,∴MA=MF,∵MD⊥AF,∴AD=DF=4cm,∴a=4.故当a=4时,四边形PAMH为菱形.∴AP=MH=2×4tan30°=833,∴t=8332=433(s).类型1动点与几何图形综合型问题例1如图Z5-1①,矩形ABCD中,AB=7cm,AD=4cm,点E为AD上一定点,点F为AD延长线上一点,且DF=acm,点P从点A出发,沿AB边向点B以2cm/s的速度运动,连接PE,设点P运动的时间为ts,△PAE的面积为ycm2,当0≤t≤1时,△PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图②所示,连接PF,交CD于点H.(2)如图③,将△HDF沿线段DF进行翻折,与CD的延长线交于点M,连接AM,当a为何值时,四边形PAMH为菱形?并求出此时点P的运动时间t.图Z5-1类型1动点与几何图形综合型问题例1如图Z5-1①,矩形ABCD中,AB=7cm,AD=4cm,点E为AD上一定点,点F为AD延长线上一点,且DF=acm,点P从点A出发,沿AB边向点B以2cm/s的速度运动,连接PE,设点P运动的时间为ts,△PAE的面积为ycm2,当0≤t≤1时,△PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图②所示,连接PF,交CD于点H.图Z5-1(3)如图④,当点P出发1s后,AD边上另一动点Q从点E出发,沿ED边向点D以1cm/s的速度运动,如果P,Q两点中的任意一点到达终点后,另一点也停止运动,连接PQ,QH.若a=43cm,请问△PQH能否成为直角三角形?若能,请求出点P的运动时间t;若不能,请说明理由.类型1动点与几何图形综合型问题(3)△PQH能成为直角三角形.①若∠PQH为直角,∵∠PQA+∠HQD=90°,∠HQD+∠QHD=90°,∴∠AQP=∠QHD,又∠PAQ=∠HDQ=90°,∴△APQ∽△DQH,∴𝐴𝑃𝐷𝑄=𝐴𝑄𝐷𝐻,∴2𝑡4-𝑡=𝑡𝐷𝐻,∴DH=4-𝑡2.∵DH∥AP,∴𝐷𝐻𝐴𝑃=𝐷𝐹𝐴𝐹,∴4-𝑡22𝑡=434+43,解得t=2.②若∠PHQ为直角,如图,作PM⊥CD于M,同理可证△PMH∽△HDQ,∴𝑃𝑀𝐻𝐷=𝑀𝐻𝐷𝑄,∴4𝐻𝐷=2𝑡-𝐻𝐷4-𝑡.∵DH∥AP,∴𝐷𝐻𝐴𝑃=𝐷𝐹𝐴𝐹,∴𝐷𝐻2𝑡=434+43,∴DH=12t,∴412𝑡=2𝑡-12𝑡4-𝑡,∴3t2+16t-64=0,∴t=83(t=-8舍去),③当P为直角顶点时,不可能.∴当t=2s或83s时,△PQH能成为直角三角形.类型1动点与几何图形综合型问题针对训练1.[2018·南通]如图Z5-2,△ABC中,AB=6cm,AC=42cm,BC=25cm,点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止,运动时间为ts,点Q是线段BP的中点.(1)当CP⊥AB时,求t的值;(2)当△BCQ是直角三角形时,求t的值;(3)设△CPQ的面积为S,求S与t的关系式,并写出t的取值范围.图Z5-2解:(1)如图①中,作CH⊥AB于H.设BH=x,∵CH⊥AB,∴∠CHB=∠CHA=90°,∴AC2-AH2=BC2-BH2,∴(42)2-(6-x)2=(25)2-x2,解得x=2,CH=4,∴当点P与H重合时,CP⊥AB,此时t=2.类型1动点与几何图形综合型问题1.[2018·南通]如图Z5-2,△ABC中,AB=6cm,AC=42cm,BC=25cm,点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止,运动时间为ts,点Q是线段BP的中点.(2)当△BCQ是直角三角形时,求t的值;图Z5-2(2)如图②中,当点Q与H重合时,△BCQ为直角三角形,BP=2BQ=4,此时t=4.如图③中,当CP=CB=25时,CQ⊥PB,此时t=6+(42-25)=6+42-25.类型1动点与几何图形综合型问题1.[2018·南通]如图Z5-2,△ABC中,AB=6cm,AC=42cm,BC=25cm,点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止,运动时间为ts,点Q是线段BP的中点.(3)设△CPQ的面积为S,求S与t的关系式,并写出t的取值范围.图Z5-2(3)①如图④中,当0≤t≤6时,S=12×PQ×CH=12×12t×4=t.②如图⑤中,当6t≤6+42时,作BG⊥AC于G,QM⊥AC于M.易知BG=AG=32,CG=2.MQ=12BG=322.∴S=12×PC×QM=12·322·(6+42-t)=922+6-324t.综上所述,S=𝑡(0≤𝑡≤6),922+6-324𝑡(6𝑡≤6+42).类型1动点与几何图形综合型问题2.[2018·吉林]如图Z5-3,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°,P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB-BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是23cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动.过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s),▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2).(1)当PQ⊥AB时,x=;(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分时,直接写出x的值.图Z5-323类型1动点与几何图形综合型问题2.[2018·吉林]如图Z5-3,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°,P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB-BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是23cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动.过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s),▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2).(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;图Z5-3(2)当0≤x23时,如图①,过点Q作QH⊥AB于H,由题意得QH=BQ·sin60°=2x·32=3x,AP=2x,∴y=S▱PQMA=AP·QH=2x·3x=23x2,即y=23x2;当23≤x1时,如图②,设QM与AD交于点G.此时QG=DQ·sin30°=12(4-2x)=2-x,∴y=S四边形PQGA=12(QG+AP)·QH=12(2-x+2x)·3x=32x2+3x,∴y=32x2+3x;类型1动点与几何图形综合型问题当1≤x≤2时,如图③,此时DG=DQ·cos30°=32(4-2x)=23-3x,NA=PB=23(x-1)=23x-23,GN=AD-DG-NA=23-(23-3x)-(23x-23)=23-3x,∴y=S四边形PQGN=12(QG+PN)·GN=12(2-x+2)(23-3x)=32x2-33x+43,∴y=32x2-33x+43.综上,y=23𝑥2(0≤𝑥23),32𝑥2+3𝑥(23≤𝑥1),32𝑥2-33𝑥+43(1≤𝑥≤2).类型1动点与几何图形综合型问题2.[2018·吉林]如图Z5-3,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°,P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB-BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是23cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动.过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s),▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2).(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分时,直接写出x的值.图Z5-3(3)25或47.(如图④,如图⑤,点E分别为BC,CD的中点)类型2坐标系中的动点问题例2[2018·黄冈]如图Z5-4,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度做匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,运动时间为t(秒),点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(1)当t=2时,求线段PQ的长;(2)求t为何值时,点P与N重合;(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.图Z5-4解:(1)菱形OABC中,∠AOC=60°,所以Rt△POM中,∠POM=60°,Rt△QOM中,∠QOM=30°.当t=2时,OM=2,可得PM=23,QM=233,所以PQ=433.类型2坐标系中的动点问题【分层分析】(1)如图Z5-5,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.如何求C,B的坐标?图Z5-5(2)在(1)的条件下,点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂