搜索
题型突破（一）选择填空难题突破题型解读选择题和填空题是中考中的固定题型,不仅题目数量多,而且占分比例高.对于选择题和填空题中较难的问题一般要通过分析、判断、推理、排除等方法得出正确的结论.常用的较为便捷的方法有直接法、图象法、特殊值法等.类型1规律探索型问题例1古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…,若把第一个三角形数记为x1,第二个三角形数记为x2,…第n个三角形数记为xn,则xn+xn+1=.【分层分析】(1)什么叫三角形数?是一组数还是其中的每一个数?(2)三角形数的规律是什么?(3)第n个数如何表示?(n+1)2【方法点析】中考常考的规律题一般有数式规律题、图形规律题、数形结合规律题,这类题目都要通过观察、分析、推理来探求其中所蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.类型1规律探索型问题类型1规律探索型问题针对训练1.[2018·张家界]观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,则2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是()A.8B.6C.4D.0[答案]B[解析]由题意可知,末位数字每4个算式是一个周期,末位依次为2,4,8,6.∵20184=504……2,∴22018的末位数字与22的末位数字相同,为4.∵2+4+8+6=20,末位数是0,∴21+22+23+24+25+…+22018的末位数字是2+4=6.故答案为6.类型1规律探索型问题2.[2018·雅安]有一列数:12,1,54,75,…,依照此规律,则第n个数表示为.[答案]2𝑛-1𝑛+1[解析]这列数可以写为:12,33,54,75,…,因此,分母为从2开始的连续正整数,分子为从1开始的连续正奇数,故第n个数为2𝑛-1𝑛+1.类型1规律探索型问题3.[2018·自贡]观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2018个图形共有个○.[答案]6055[解析]第1个图形有○:4个,第2个图形有○:4+3=7(个),第3个图形有○:4+3+3=10(个),第4个图形有○:4+3+3+3=13(个),∴第n个图形有○:4+3(n-1)=(3n+1)个,∴第2018个图形有○:3×2018+1=6055(个).图Z1-1类型1规律探索型问题4.[2018·咸宁]按一定顺序排列的一列数叫做数列,如数列:12,16,112,120,…,则这个数列的前2018个数的和为.[答案]20182019[解析]12=11×2,16=12×3,112=13×4,120=14×5,…,则第2018个数为12018×2019,则这个数列的前2018个数的和为11×2+12×3+13×4+14×5+…+12018×2019=1-12+12-13+13-14+14-15+…+12018-12019=1-12019=20182019.类型1规律探索型问题5.[2018·淄博]如图Z1-2,将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第8列的数是.图Z1-2[答案]2018[解析]第n行的首位数字是n2,因此第45行首位数字是452=2025,再减去7即可得到第8列的数字为2018.类型1规律探索型问题6.[2018·孝感]我国古代数学家杨辉发现了如图Z1-3所示的三角形,我们称之为“杨辉三角”,从图中取一列数:1,3,6,10,…,记a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,那么a4+a11-2a10+10的值是.图Z1-3[答案]-24[解析]∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,∴探索规律可知:an=1+2+3+4+…n=𝑛(1+𝑛)2,∴a10=10×(1+10)2=55,a11=11×(1+11)2=66,∴a4+a11-2a10+10=10+66-2×55+10=-24.类型1规律探索型问题7.[2018·成都]已知a0,S1=1𝑎,S2=-S1-1,S3=1𝑆2,S4=-S3-1,S5=1𝑆4,…即当n为大于1的奇数时,Sn=1𝑆𝑛-1;当n为大于1的偶数时,Sn=-Sn-1-1,按此规律S2018=.(用含a的代数式表示)[答案]1+𝑎𝑎[解析]∵S1=1𝑎,∴S2=-S1-1=-1𝑎-1=-1+𝑎𝑎,∴S3=1𝑆2=-𝑎1+𝑎,∴S4=-S3-1=𝑎1+𝑎-1=-11+𝑎,∴S5=1𝑆4=-1-a,∴S6=-S5-1=a,∴S7=1𝑆6=1𝑎=S1,故此规律为6个一循环,∵2018÷6=336……2,∴S2018=-1+𝑎𝑎.类型2新定义运算问题例2[2018·达州]平面直角坐标系中,点P的坐标为(m,n),则向量𝑂𝑃可以用点P的坐标表示为𝑂𝑃=(m,n),已知𝑂𝐴1=(x1,y1),𝑂𝐴2=(x2,y2),若x1·x2+y1·y2=0,则𝑂𝐴1与𝑂𝐴2互相垂直.下列四组向量:①𝑂𝐵1=(3,-9),𝑂𝐵2=1,-13;②𝑂𝐶1=(2,π0),𝑂𝐶2=(2-1,-1);③𝑂𝐷1=(cos30°,tan45°),𝑂𝐷2=(sin30°,tan45°);④𝑂𝐸1=(5+2,2),𝑂𝐸2=5―2,22.其中互相垂直的有()A.1组B.2组C.3组D.4组类型2新定义运算问题【分层分析】(1)向量𝑂𝑃如何用点的坐标表示?𝑂𝐴1,𝑂𝐴2呢?(2)向量𝑂𝐴1与𝑂𝐴2互相垂直的条件是什么?(3)𝑂𝐵1=(3,-9),𝑂𝐵2=1,-13,如何利用坐标计算,判断𝑂𝐵1与𝑂𝐵2是否互相垂直?(4)𝑂𝐶1=(2,π0),𝑂𝐶2=(2-1,-1),如何利用坐标计算,判断𝑂𝐶1与𝑂𝐶2是否互相垂直?(5)𝑂𝐷1=(cos30°,tan45°),𝑂𝐷2=(sin30°,tan45°),如何利用坐标计算,判断𝑂𝐷1与𝑂𝐷2是否互相垂直?(6)𝑂𝐸1=(5+2,2),𝑂𝐸2=5―2,22,如何利用坐标计算,判断𝑂𝐸1与𝑂𝐸2是否互相垂直?类型2新定义运算问题【方法点析】解此类题目的关键是理解新定义运算的意义,然后通过试验、探究、猜想,在新概念下解决新问题.[答案]A[解析]①𝑂𝐵1=(3,-9),𝑂𝐵2=1,-13,∵3×1+(―9)×―13≠0,∴𝑂𝐵1与𝑂𝐵2不垂直.②𝑂𝐶1=(2,π0),𝑂𝐶2=(2-1,-1),∵2×2-1+π0×(―1)=0,∴𝑂𝐶1与𝑂𝐶2互相垂直.③𝑂𝐷1=(cos30°,tan45°),𝑂𝐷2=(sin30°,tan45°),∵cos30°·sin30°+tan45°·tan45°≠0,∴𝑂𝐷1与𝑂𝐷2不垂直.④𝑂𝐸1=(5+2,2),𝑂𝐸2=5―2,22.∵(5+2)×(5―2)+2×22≠0,∴𝑂𝐸1与𝑂𝐸2不垂直.故选A.类型2新定义运算问题针对训练1.[2018·绍兴]某校建立了一个身份识别系统,图Z1-4是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a×23+b×22+c×21+d×20.如图,第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是()图Z1-4图Z1-5[答案]B[解析]A:1×23+0×22+1×21+0×20=10;B:0×23+1×22+1×21+0×20=6;C:1×23+0×22+0×21+1×20=9;D:0×23+1×22+1×21+1×20=7,只有选项B表示6班,故选:B.类型2新定义运算问题2.定义新运算,a*b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+14m=0(m0)的两根,则b*b-a*a的值为()A.0B.1C.2D.与m有关[答案]A[解析]b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2.因为a,b为方程x2-x+14m=0的两根,所以a2-a+14m=0,化简得a2-a=-14m,同理b2-b=-14m,∴b-b2-a+a2=-(b2-b)+a2-a=--14m+-14m=0.类型2新定义运算问题3.[2018·日照]定义一种对正整数n的“F”运算:①当n是奇数时,F(n)=3n+1;②当n为偶数时,F(n)=𝑛2𝑘其中k是使𝑛2𝑘为奇数的正整数,两种运算交替重复进行.例如,取n=24,则:若n=13,则第2018次“F”运算的结果是()A.1B.4C.2018D.42018图Z1-6类型2新定义运算问题[答案]A[解析]根据题意,得第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,第二次:当n=40时,F②=4023=5,第三次:当n=5时,F①=3×5+1=16,第四次:当n=16时,F②=1624=1,第五次:当n=1时,F①=3×1+1=4,第六次:当n=4时,F②=422=1,…从第四次开始,每两次运算为一个循环,因为(2018-3)÷2=1007……1,所以第2018次“F”运算的结果是1.故选A.类型2新定义运算问题4.[2018·潍坊]在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图Z1-7,在平面上取定一点O为极点;从点O出发引一条射线Ox称为极轴;线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即P(3,60°)或P(3,-300°)或P(3,420°)等,则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是()A.Q(3,240°)B.Q(3,-120°)C.Q(3,600°)D.Q(3,-500°)图Z1-7类型2新定义运算问题[答案]D[解析]延长PO到点Q,使OQ=OP,则Q点即为所求,此时OQ=OP=3,逆时针旋转角度为60°+180°=240°,从而顺时针方向旋转角度为360°-240°=120°,从而选项A,B正确,再逆时针旋转一周为240°+360°=600°,故选项C正确,再顺时针旋转一周为120°+360°=480°,故Q(3,-480°),不可能为(3,-500°),故选择D.类型2新定义运算问题5.在平面直角坐标系中,任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),规定运算:①AB=(x1+x2,y1+y2);②AB=x1x2+y1y2;③当x1=x2且y1=y2时,A=B.有下列四个命题:(1)若A(1,2),B(2,-1),则AB=(3,1),AB=0;(2)若AB=BC,则A=C;(3)若AB=BC,则A=C;(4)对任意点A,B,C,均有(AB)C=A(BC)成立.其中正确命题的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个类型2新定义运算问题[答案]C[解析]设C(x3,y3).(1)AB=(1+2,2-1)=(3,1),AB=1×2+2×(-1)=0,故(1)正确;(2)AB=(x1+x2,y1+y2),BC=(x2+x3,y2+y3),∵AB=BC,∴(x1+x2,y1+y2)=(x2+x3,y2+y3),∴x1=x3,y1=y3,∴A=C,故(2)正确;(3)AB=x1x2+y1y2,BC=x2x3+y2y3,而AB=BC,则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3,不能得到x1=x3,y1=y3,所以不能得到A=C,所以(3)不正确;(4)按题中的定义运算,正确.故正确命题有3个.类型2新定义运算问题6.[2018·滨州]如果规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[2.3]=2,那么函数y=x-[x]的图象为()图Z1-8[答案]A[解析]当x为正整数时,y=0,排除C和D;x≥[x]恒成立,则y≥0,排除B.故选A.类型2新定义运算问题7.[2018·娄底