（全国）2019版中考数学复习 题型突破（四）操作探究型问题课件

题型突破（四）操作探究型问题题型解读操作探究型问题是指通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合情猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题,(2)图形剪拼问题,(3)操作探究问题,(4)数学建模问题.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.类型1折叠剪拼操作探究型问题例1[2018·菏泽]问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图Z4-1①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图②所示的△AC'D,过点C作AC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是.图Z4-1解:(1)菱形.理由:由题意得∠CAC'=∠BAC=∠DC'A=∠α,∴C'E∥AC.又∵CE∥AC',∴四边形ACEC'是平行四边形.∵AC=AC',∴平行四边形ACEC'是菱形.类型1折叠剪拼操作探究型问题(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',试求tan∠C'CH的值.图Z4-1类型1折叠剪拼操作探究型问题【分层分析】(1)将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD,这两个三角形全等吗?(2)△AC'D是由哪个三角形绕着哪个点,如何旋转,旋转多少度得到?旋转角∠CAC'是多少度?(3)如何证明四边形ACEC'是平行四边形?如何证明是菱形?(4)将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',如何证明四边形ACGC'是菱形?类型1折叠剪拼操作探究型问题(5)在(4)的条件下,如何证明四边形ACGC'是正方形?(6)AB=2cm,AC=4cm,如何求∠ACB的度数?(7)将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',如何求BH,CH,C'H?(8)在Rt△CHC'中,如何求tan∠C'CH?(2)证明:由题意得CF=C'F,FG=AF,∴四边形ACGC'是平行四边形.∵AC=AC',∴平行四边形ACGC'是菱形.∵B,A,D三点在同一条直线上,且∠BAC+∠DAC'=90°,∴∠CAC'=90°,∴菱形ACGC'是正方形.类型1折叠剪拼操作探究型问题例1[2018·菏泽]问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图Z4-1①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.类型1折叠剪拼操作探究型问题例1[2018·菏泽]问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图Z4-1①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',试求tan∠C'CH的值.(3)∵A'B=2cm,A'C=4cm,∴sin∠A'CB=𝐴'𝐵𝐴'𝐶=24=12,∴∠A'CB=30°.∴∠A'CB=∠DBC'=30°,∠BA'C=60°,∴∠A'HB=∠BHC=∠CHC'=90°.易得BC=23cm.在Rt△BHC中,∠BCH=30°,∴BH=12BC=3cm,HC=3cm,∴HC'=BC'-BH=(4-3)cm,∴tan∠C'CH=𝐻𝐶'𝐻𝐶=4-33.类型1折叠剪拼操作探究型问题针对训练1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.图Z4-2类型1折叠剪拼操作探究型问题简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是;(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=;(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有个(包含四边形ABCD).拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z4-2解:简单应用:(1)因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形.类型1折叠剪拼操作探究型问题1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.简单应用:(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=;图Z4-2(2)在题图③中,因为∠BCD=120°,∠BCE=∠ECF=∠FCD,所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°.又因为∠B=90°,所以∠BEC=50°,所以∠B'EC=50°,所以∠AEB'=180°-50°-50°=80°.类型1折叠剪拼操作探究型问题1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.简单应用:(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有个(包含四边形ABCD).图Z4-2类型1折叠剪拼操作探究型问题(3)当题图②中的四边形AECF为菱形时,对应题图③中的“完美筝形”有5个.理由如下:根据题意得:BE=B'E,BC=B'C,∠B=∠CB'E=90°,CD=CD',FD=FD',∠D=∠CD'F=90°,∴四边形EBCB'、四边形FDCD'是“完美筝形”;∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD'=CB',∠CD'O=∠CB'O=90°,∴∠OD'E=∠OB'F=90°,∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D'E=B'F,∠AEB'=∠CB'E=90°,∠AFD'=∠CD'F=90°,在△OED'和△OFB'中,∠𝐸𝑂𝐷'=∠𝐹𝑂𝐵',∠𝑂𝐷'𝐸=∠𝑂𝐵'𝐹,𝐷'𝐸=𝐵'𝐹,∴△OED'≌△OFB'(AAS),∴OD'=OB',OE=OF,∴四边形CD'OB'、四边形AEOF是“完美筝形”;∴包含四边形ABCD,对应图③中的“完美筝形”有5个;故答案为5.类型1折叠剪拼操作探究型问题1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z4-2类型1折叠剪拼操作探究型问题拓展提升:∠AB'E=45°.理由如下:∵∠BCD=90°,∴四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∵∠EB'F=90°,∴∠BAD+∠EB'F=180°,∴A,E,B',F四点共圆.易证AE=AF,∴𝐴𝐸=𝐴𝐹,∴∠AB'E=∠AB'F=12∠EB'F=45°.类型1折叠剪拼操作探究型问题2.[2018·齐齐哈尔]综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.图Z4-3类型1折叠剪拼操作探究型问题解决问题(1)在图①中,①B'D和AC的位置关系为;②将△AEC剪下后展开,得到的图形是.(2)若图①中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图②所示,(1)中结论①和结论②是否成立?若成立,请挑选其中的一个结论加以证明;若不成立,请说明理由.(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为.拓展应用(4)在图②中,若∠B=30°,AB=43,当△AB'D恰好为直角三角形时,BC的长度为.图Z4-3互相平行菱形类型1折叠剪拼操作探究型问题2.[2018·齐齐哈尔]综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.图Z4-3类型1折叠剪拼操作探究型问题解决问题(2)若图①中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图②所示,(1)中结论①和结论②是否成立?若成立,请挑选其中的一个结论加以证明;若不成立,请说明理由.图Z4-3(2)结论仍成立,选择结论①证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∵将△ABC沿AC翻折至△AB'C,∴∠ACB'=∠ACB,∴∠DAC=∠ACB',∴AE=CE,又∵B'C=BC=AD,∴B'E=ED,∴∠CB'D=∠ADB',∵∠AEC=∠B'ED,∠ACB'=∠CAD,∴∠ADB'=∠DAC,∴B'D∥AC.选择结论②证明如下: