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题型突破（三）创新学习型问题题型解读创新学习型问题常见的有新定义型问题、阅读理解题和开放探究题.解决阅读理解题的关键是(1)仔细阅读信息,收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法;(2)运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和推理,进而解决问题.开放探究题主要有下列两种描述:①答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题;②具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.解题的策略是将其转化为封闭性问题.类型1新定义型问题例1[2018·长沙]我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(1)①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中,一定是“十字形”的有;②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形“十字形”(填“是”或“不是”);(2)如图Z3-1①,A,B,C,D是半径为1的圆O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;图Z3-1菱形,正方形不是类型1新定义型问题(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0,c0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,-ac).记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB、△COD、△AOD、△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式:①𝑆=𝑆1+𝑆2;②𝑆=𝑆3+𝑆4;③“十字形”ABCD的周长为1210.图Z3-1类型1新定义型问题【分层分析】(1)什么是新定义“十字形”?(2)在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中,一定是“十字形”的有哪些?(3)在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,如何证明该四边形不是“十字形”?(画图说明)(4)如图①,根据已知条件求证AC⊥BD.(5)在第(4)题条件下,已知AC⊥BD,可得OE2=2-14(AC2+BD2).从而求OE的取值范围.(6)如图②,求A,B,C的坐标(用含a,b,c的式子表示)及S,S1,S2,S3,S4.(7)在(6)题条件下,已知𝑆=𝑆1+𝑆2,𝑆=𝑆3+𝑆4,“十字形”ABCD的周长为1210,求a,b,c.(2)由题意可得∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB,所以∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,所以180°-∠AED=180°-∠AEB,所以∠AED=∠AEB=90°,即AC⊥BD,过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥BD于点N,连接OA,OD,则OA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=12AC,DN=12BD,四边形OMEN为矩形,所以ON=ME,OE2=OM2+ME2,所以OE2=OM2+ON2=2-14(AC2+BD2),又因为6≤AC2+BD2≤7,所以2-74≤OE2≤2-32,即14≤OE2≤12(OE0),所以12≤OE≤22.类型1新定义型问题例1[2018·长沙]我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(2)如图Z3-1①,A,B,C,D是半径为1的圆O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;图Z3-1类型1新定义型问题例1[2018·长沙]我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0,c0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,-ac).记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB、△COD、△AOD、△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式:①𝑆=𝑆1+𝑆2;②𝑆=𝑆3+𝑆4;③“十字形”ABCD的周长为1210.(3)由题意得A-𝑏-𝛥2𝑎,0(Δ=b2-4ac,下同),B(0,c),C-𝑏+𝛥2𝑎,0,D(0,-ac),因为a0,c0,所以AO=𝑏+𝛥2𝑎,BO=-c,CO=-𝑏+𝛥2𝑎,DO=-ac,AC=𝛥𝑎,BD=-ac-c,S=12·AC·BD=-12(ac+c)·𝛥𝑎,S1=12·AO·OB=-𝑐(𝛥+𝑏)4𝑎,S2=12·CO·OD=-𝑐(𝛥-𝑏)4,S3=12·AO·OD=-𝑐(𝛥+𝑏)4,S4=12·CO·OB=-𝑐(𝛥-𝑏)4𝑎,又因为𝑆=𝑆1+𝑆2,𝑆=𝑆3+𝑆4,可得a=1,所以S=-c𝛥,因为𝑆=𝑆1+𝑆2,所以S=S1+S2+2𝑆1𝑆2,可得b=0,所以A(--𝑐,0),B(0,c),C(-𝑐,0),D(0,-c),所以四边形ABCD为菱形,所以AD=310,又因为AD2=c2-c,得到(c-10)(c+9)=0,所以c1=-9,c2=10(舍去),所以抛物线的解析式为:y=x2-9.图Z3-1解:(1)证明:由已知尺规作图痕迹得:AC=CD,AB=BD,CB是∠FCE的平分线,∴∠ACB=∠DCB,又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB,又∵AC=CD,AB=BD,∴AC=CD=AB=BD,∴四边形ACDB为菱形,又∵∠ACD与△FEC中的∠FCE重合,它的对角∠ABD的顶点B在重合角的对边FE上,∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.类型1新定义型问题针对训练1.[2018·深圳]已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图Z3-2,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心,以任意长为半径作弧AD,再分别以点A和点D为圆心,大于12AD长为半径作弧,交EF于点B,AB∥CD.(1)求证:四边形ACDB为△FEC的亲密菱形;(2)求四边形ACDB的面积.图Z3-21.[2018·深圳]已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图Z3-2,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心,以任意长为半径作弧AD,再分别以点A和点D为圆心,大于12AD长为半径作弧,交EF于点B,AB∥CD.(2)求四边形ACDB的面积.类型1新定义型问题解：(2)设菱形ACDB的边长为x,∵CF=6,CE=12,∴FA=CF-AC=6-x,∵AB∥CD,∴△FAB∽△FCE,∴𝐴𝐹𝐶𝐹=𝐴𝐵𝐶𝐸,即6-𝑥6=𝑥12,解得x=4,过点A作AG⊥CE于点G,则在Rt△ACG中,∠ACG=45°,sin∠ACG=𝐴𝐺𝐴𝐶,即sin45°=𝐴𝐺4=22,解得AG=4×22=22,∴四边形ACDB的面积=AG·CD=22×4=92.图Z3-2类型1新定义型问题2.[2017·义乌]定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图Z3-3①,等腰直角四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°.①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.②若AC⊥BD,求证:AD=CD.(2)如图Z3-3②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.解:(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.又∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形.∴BD=2.②证明:如图①,连接AC,BD,∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD,又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.图Z3-3类型1新定义型问题2.[2017·义乌]定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(2)如图Z3-3②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.图Z3-3(2)若EF与BC垂直,则AE≠EF,BF≠EF,∴四边形ABFE不是等腰直角四边形,故不符合条件.若EF与BC不垂直,①当AE=AB时,如图②,此时四边形ABFE是等腰直角四边形.∴AE=AB=5.②当BF=AB时,如图③,此时四边形ABFE是等腰直角四边形.∴BF=AB=5.∵DE∥BF,∴△PED∽△PFB,∴DE∶BF=PD∶PB=1∶2,∴DE=2.5,∴AE=9-2.5=6.5.综上所述,满足条件的AE的长为5或6.5.类型1新定义型问题3.[2018·宁波]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图Z3-4①,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求证:△ABC是比例三角形;(3)如图②,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求𝐵𝐷𝐴𝐶的值.图Z3-4解:(1)43或92或6.类型1新定义型问题3.[2018·宁波]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(2)如图Z3-4①,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求证:△ABC是比例三角形;图Z3-4(2)证明:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD.又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,∴𝐵𝐶𝐶𝐴=𝐶𝐴𝐴𝐷,即CA2=BC·AD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC·AB,∴△ABC是比例三角形.类型1新定义型问题3.[2018·宁波]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(3)如图②,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求𝐵𝐷𝐴𝐶的值.图Z3-4(3)如图所示,过点A作AH⊥BD于点H.∵AB=AD,∴BH=12BD.∵AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°.又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,∴𝐴𝐵𝐵𝐷=𝐵𝐻𝐵𝐶,∴AB·BC=BD·BH,∴AB·BC=12BD2.又∵AB·BC=AC2,∴12BD2=AC2,∴𝐵𝐷𝐴𝐶=2.类型1新定义型问题4.[2017·宁波]有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图Z3-5①,在半对角四边形ABCD中,∠B=12∠D,∠C=12∠A,求∠B与∠C的度数之和;(2)如图②,锐角三角形ABC内接于☉O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO,∠OBA的平分线交OA于点E,连接DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形;(3)如图③,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G,当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.图Z3-5解:(1)在半对角四边形ABCD中,∠B=12∠D,∠C=12∠A,∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴3∠B+3∠C=360°.∴∠B+∠C=120°,即∠B与∠C的度数之和为120°.(2)证明:在△BED和△BEO中,𝐵𝐷=𝐵𝑂,∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐵𝑂,𝐵𝐸=𝐵𝐸,∴△BED≌△BEO(SAS).∴∠BDE=∠BOE.又∵∠BCF=12∠BOE,∴∠BCF=12∠BDE.如图①,连接OC,设∠EAF=α,则∠