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题型突破（六）二次函数与几何综合类问题题型解读二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起考查,解决这类问题需要用到数形结合思想,把“数”与“形”结合起来,互相渗透.存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题,解决这类问题的一般思路是先假设结论存在,然后在这个假设下进行演绎推理,若推出矛盾,即可否定假设;若推出合理,则可肯定假设.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(1)求抛物线的对称轴;【分层分析】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎.解:(1)抛物线y=ax2+4ax+m的对称轴为直线x=-2.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;【分层分析】抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称.(2)∵该抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),且对称轴为直线x=-2,∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(3)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的一个点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求D点坐标;【分层分析】以AB为一底的梯形ABCD中,AB∥CD,C,D关于抛物线的对称轴对称.由点D是抛物线与y轴的交点,可知D(0,m),由梯形的面积公式可求出m的值,从而求出D点坐标.(3)由题意可知点D的坐标为(0,m),根据抛物线的对称性,可知点C的坐标为(-4,m),S梯形ABCD=12(AB+CD)×OD=12×(2+4)m=9,解得m=3,所以D点坐标为(0,3).图Z6-1①类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(4)在(3)的条件下,求此抛物线的解析式;(4)因为A(-1,0),B(-3,0),所以设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x+1),∵点D(0,3)在抛物线上,∴3=3a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.【分层分析】根据前面所求的A,B,D三点的坐标,用待定系数法求解析式.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(5)点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,如果点E在(4)中的抛物线上,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标;(5)由点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,设点E的坐标为(-2k,5k),∵点E在抛物线y=x2+4x+3上,∴5k=4k2-8k+3,解得k=14或k=3,当k=14时,点E-12,54;当k=3时,点E(-6,15)(不符合题意,舍去).图Z6-1②【分层分析】由E点到坐标轴的距离特征设出点的坐标,代入抛物线的解析式求解.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(6)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-1③【分层分析】因为AE的长为定值,要使△APE的周长最小,即要使PA+PE的值最小,由点A,B关于抛物线的对称轴对称,可知BE与抛物线的对称轴的交点即为点P,即可得PA+PE的值最小,即△APE的周长最小.类型1二次函数与线段、周长有关的问题(6)点A关于对称轴x=-2对称的点为点B,△PAE的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE,AE的长为定值,要使△PAE的周长最小,即使PB+PE最小,根据两点之间线段最短,可知连接BE,BE与对称轴的交点即为点P,设过点B(-3,0)和点E-12,54的直线的解析式为y=kx+b,由54=-12𝑘+𝑏,0=-3𝑘+𝑏解得𝑘=12,𝑏=32.∴直线BE的解析式为y=12x+32,当x=-2时,y=12,∴点P的坐标为-2,12.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(7)在y轴上是否存在点M,使MA+ME的和最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-1④【分层分析】点A关于y轴对称的点为点A',要使ME+AM=ME+MA'最小,根据两点之间线段最短,可知连接EA',EA'与y轴的交点即为点M,进而可求得点M的坐标.类型1二次函数与线段、周长有关的问题(7)点A关于y轴对称的点为点A',要使ME+AM=ME+MA'最小,根据两点之间线段最短,可知连接EA',EA'与y轴的交点即为点M,设过点A'(1,0)和点E-12,54的直线的解析式为y=mx+n,由54=-12𝑚+𝑛,0=𝑚+𝑛解得𝑚=-56,𝑛=56.∴直线A'E的解析式为y=-56x+56,当x=0时,y=56,∴点M的坐标为0,56.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(8)在y轴上是否存在一点S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】当A,E,S三点共线且S不在线段AE上时,有|SE-SA|=AE,从而得到当点S在AE或EA的延长线上时满足条件,求出直线AE与y轴的交点坐标即可.图Z6-1⑤(8)设过点A(-1,0)和点E-12,54的直线的解析式为y=k1x+b1,由54=-12𝑘1+𝑏1,0=-𝑘1+𝑏1解得𝑘1=52,𝑏1=52.∴直线AE的解析式为y=52x+52,当x=0时,y=52,∴点S的坐标为0,52.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(9)若点H是抛物线上位于AD下方的一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.①求d关于h的函数关系式;②求d的最大值及此时H点的坐标.【分层分析】①分别将x=h代入抛物线及直线AD的解析式中,得到点H,K的纵坐标,再由点H在点K的下方,表示出HK,可得到d关于h的函数关系式;②利用二次函数的性质求最值,即可得d的最大值,进而求出H点的坐标.图Z6-1⑥类型1二次函数与线段、周长有关的问题(9)①设过A(-1,0),D(0,3)的直线的解析式为y=k2x+b2,则-𝑘2+𝑏2=0,𝑏2=3,解得𝑘2=3,𝑏2=3,∴直线AD的解析式为y=3x+3,当x=h时,d=(3h+3)-(h2+4h+3)=-h2-h.②d=-h2-h=-h2+h+14+14=-h+122+14.当h=-12时,d有最大值14.当h=-12时,y=h2+4h+3=54,所以H-12,54.类型1二次函数与线段、周长有关的问题针对训练1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-2类型1二次函数与线段、周长有关的问题1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式.图Z6-2解:(1)将点A(-1,0)和B(3,0)的坐标代入抛物线y=ax2+2x+c中,可得:𝑎-2+𝑐=0,9𝑎+6+𝑐=0,解得𝑎=-1,𝑐=3.∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.令x=0,则y=3,∴点C的坐标为(0,3).设直线AC的解析式为y=kx+b,则-𝑘+𝑏=0,𝑏=3,解得𝑘=3,𝑏=3.∴直线AC的解析式为y=3x+3.类型1二次函数与线段、周长有关的问题1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.图Z6-2(2)如图,作点D关于y轴的对称点D1,连接BD1交y轴于点M,则点M为所求.由抛物线解析式可得D点的坐标为(1,4),则D1的坐标为(-1,4).设直线BD1的解析式为y=k1x+b1,则3𝑘1+𝑏1=0,-𝑘1+𝑏1=4,解得𝑘1=-1,𝑏1=3,则直线BD1的解析式为y=-x+3,令x=0可得y=3,则点M的坐标为(0,3).类型1二次函数与线段、周长有关的问题1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-2类型1二次函数与线段、周长有关的问题(3)存在.如图①,当△ACP是以点C为直角顶点时,易得直线CP的解析式为y=-13x+3.由𝑦=-13𝑥+3,𝑦=-𝑥2+2𝑥+3,得𝑥1=0,𝑦1=3,(舍)𝑥2=73,𝑦2=209,∴P点坐标为73,209.如图②,当△ACP是以点A为直角顶点时,易得直线AP的解析式为y=-13x-13.由𝑦=-13𝑥-13,𝑦=-𝑥2+2𝑥+3,得𝑥1=-1,𝑦1=0,(舍)𝑥2=103,𝑦2=-139,∴P点坐标为103,-139.综上,符合条件的点P的坐标为73,209或103,-139.类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图②所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为;若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.图Z6-3类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;图Z6-3解:(1)将A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.∴点C的坐标为(0,4).将(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+