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第4课时数的开方与二次根式考点一平方根、算术平方根与立方根课前双基巩固数的开方算术平方根一个正数的①等于a,则这个数叫做a的算术平方根,记作a.0的算术平方根是0平方根一个数的②等于a,那么这个数叫做a的平方根,记作±a立方根一个数的③等于a,那么这个数叫做a的立方根考点聚焦平方平方立方二次根式形如a()的式子叫做二次根式最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式考点二二次根式的有关概念课前双基巩固a≥0课前双基巩固考点三二次根式的性质二次根式的性质两个重要的性质(a)2=a(a①)a2=a=a(a≥0),②(a0)积的算术平方根ab=③(a≥0,b≥0)商的算术平方根ba=ba(a④,b⑤)≥0-a𝑎·𝑏0≥0课前双基巩固考点四二次根式的运算二次根式的加减先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的乘法a·b=ab(a①,b②)二次根式的除法ba=ba(a③,b④)≥0≥00≥0课前双基巩固考点五二次根式的估值1.一般先对根式进行平方,如(7)2=7.2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数,如479.3.对以上两个整数开方,如4=2,9=3.4.这个根式的值在这两个相邻整数之间,如273.课前双基巩固考点六把分母中的根号化去常见形式及方法(1)1a=1·aa·a=aa;(2)1a+b=a+ba+b课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[七下P47习题6.1第4题改编]下列说法正确的有()(1)5是25的算术平方根;(2)56是2536的一个平方根;(3)(-4)2的平方根是-4;(4)0的平方根与算术平方根都是0.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]C课前双基巩固2.[八下P19复习题16第1题改编]当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1)3+𝑥;(2)12𝑥-1;(3)12-3𝑥;(4)1(𝑥-1)2.(1);(2);(3);(4).[答案](1)x≥-3(2)x12(3)x23(4)x≠1课前双基巩固3.[八下P5习题16.1第9题改编](1)已知18-𝑛是整数,则自然数n所有可能的值为;(2)已知24𝑛是整数,则正整数n的最小值为.4.[八下P19复习题16第3题节选改编]计算:(1)24-12-18+6=;(2)212×34÷52=;(3)(23+6)(23-6)=.[答案]3.(1)2,9,14,17,18(2)6[解析](1)∵要使18-𝑛有意义,必须18-n≥0,即n≤18.∵18-𝑛是整数,∴n只能是2,9,14,17,18,对应的18-𝑛的值是4,3,2,1,0.(2)∵24𝑛=26𝑛,24𝑛是整数,∴正整数n的最小值是6.4.(1)6-342(2)3102(3)6课前双基巩固5.[八下P15习题16.3第6题改编]已知x=3+1,y=3-1,求下列各式的值:(1)x2+2xy+y2=;(2)x2-y2=.[答案](1)12(2)43[解析]因为x=3+1,y=3-1,所以x+y=23,x-y=2.则:(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(23)2=12.(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=43.课前双基巩固题组二易错题【失分点】求二次根式有意义的条件时容易忽视分式、零指数幂与负整数次幂有意义的条件;注意的区别;二次根式运算的最后结果需要化为最简二次根式.6.使等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为()图4-1[答案]B[解析]由等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立,可得𝑥-3≥0,𝑥+10,解得x≥3.故选B.(𝑎)2,𝑎2课前双基巩固7.下列等式正确的是()A.(3)2=3B.(-3)2=-3C.33=3D.(-3)2=-3[答案]A[解析]∵(3)2=3,∴A正确;∵(-3)2=9=3,∴B错误;∵33=32×3=32×3=33,∴C错误;∵(-3)2=(3)2=3,∴D错误.课堂考点探究探究一求平方根、算术平方根与立方根【命题角度】(1)直接求一个数的平方根、算术平方根、立方根;(2)由开平方、开立方运算求字母的值.例1判断正误:(1)36的平方根是6;()(2)±9的平方根是±3;()(3)16=±4;()(4)0.01是0.1的平方根;()(5)42的平方根是4;()(6)81的算术平方根是±9.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×[解析](1)36的平方根是±6,故错误;(2)-9没有平方根,故错误;(3)16=4,故错误;(4)0.1是0.01的算术平方根,故错误;(5)42的平方根是±4,故错误;(6)81的算术平方根是9,故错误.课堂考点探究[方法模型](1)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)平方根等于本身的数是0,算术平方根等于本身的数是1和0,立方根等于本身的数是1,-1和0;(3)一个数的立方根与它同号;(4)注意“的平方根”与“4的平方根”的不同.课堂考点探究针对训练1.(1)[2018·济宁]-13的值是()A.1B.-1C.3D.-3(2)[2018·泰州]8的立方根等于.[答案](1)B[解析]由于(-1)3=-1,所以-1的立方根是-1,即-13的值是-1,因此,本题应该选B.(2)2[解析]∵23=8,∴8的立方根等于2.课堂考点探究2.(1)(-2)2的平方根是()A.2B.-2C.±2D.2(2)[2018·安顺]4的算术平方根为()A.±2B.2C.±2D.2[答案](1)C[解析]∵(-2)2=4,∴4的平方根是:±2.故选C.(2)B[解析]由算术平方根的定义可知,4=2,2的算术平方根为2.课堂考点探究探究二二次根式的有关概念例2[2019·原创]下列二次根式中,与3可以相加减的是()A.18B.13C.24D.0.3[答案]B课堂考点探究针对训练1.[2017·潍坊]若代数式𝑥-2𝑥-1有意义,则实数x的取值范围是()A.x≥1B.x≥2C.x1D.x22.[2017·济宁]若2𝑥-1+1-2𝑥+1在实数范围内有意义,则x满足的条件是()A.x≥12B.x≤12C.x=12D.x≠12[答案]1.B[解析]由题意,得𝑥-2≥0,𝑥-10,解得x≥2.2.C[解析]根据“二次根式的定义,要使𝑎在实数范围内有意义,则a≥0”,所以2x-1≥0,1-2x≥0,由此可得x=12.课堂考点探究3.下列根式不能再化简的是()A.23B.3C.9D.12[答案]B课堂考点探究探究三二次根式的化简与计算例3下列计算:(1)(2)2=2,(2)(-2)2=2,(3)(-23)2=12,(4)(2+3)·(2-3)=-1,其中结果正确的个数为()A.1B.2C.3D.4[答案]D【命题角度】(1)二次根式的性质运用正误判断及简单计算;(2)二次根式的运算及化简求值.[方法模型]分式与二次根式综合计算与化简问题,一般先化简再代入求值;最后的结果要化为最简形式.课堂考点探究针对训练1.下列计算正确的是()A.12=23B.32=32C.-𝑥3=x-𝑥D.𝑥2=x2.[2018·聊城]下列计算正确的是()A.310-25=5B.711×117÷111=11C.(75-15)÷3=25D.1318-389=2[答案]1.A2.B[解析]∵310与-25无法合并同类项,∴A错误;∵711×117÷111=711×117÷111=711×117×11=711×117×11=11,∴B正确;∵(75-15)÷3=75÷3-15÷3=75÷3-15÷3=25-5=5-5,∴C错误;∵1318-389=13×32-3×232=2-22=-2,∴D错误.课堂考点探究3.(1)计算:27×83÷12=.(2)计算:32-82=.4.[2018·泰安]先化简,再求值:𝑚2-4𝑚+4𝑚-1÷3𝑚-1-m-1,其中m=2-2.[答案]3.(1)12(2)24.解:原式=(𝑚-2)2𝑚-1÷3-𝑚2+1𝑚-1=(𝑚-2)2𝑚-1÷(2+𝑚)(2-𝑚)𝑚-1=(𝑚-2)2𝑚-1×𝑚-1(2+𝑚)(2-𝑚)=2-𝑚2+𝑚.当m=2-2时,原式=2-2+22+2-2=4-22=22-1.课堂考点探究5.[2018·荆门]先化简,再求值:x+2+3𝑥+4𝑥-2÷𝑥2+6𝑥+9𝑥-2,其中x=23.解:原式=𝑥2-4+3𝑥+4𝑥-2×𝑥-2(𝑥+3)2=𝑥(𝑥+3)𝑥-2×𝑥-2(𝑥+3)2=𝑥𝑥+3,当x=23时,原式=2323+3=22+3=2(2-3)=4-23.课堂考点探究探究四二次根式的大小比较例4比较大小:(1)-32-25;(2)5-35-22.[答案](1)(2)[解析](1)(32)2=18,(25)2=20,∵1820,∴3225,∴-32-25;(2)∵459,∴253,∴5-30,5-220,∴5-35-22,应该填“”.【命题角度】(1)比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小;(2)估计一个二次根式的值在哪两个整数之间.[方法模型]比较两个二次根式的大小最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因式移到根号内比较.课堂考点探究针对训练1.[2018·福建A卷]已知m=4+3,则以下对m的估算正确的是()A.2m3B.3m4C.4m5D.5m62.[2017·南京]若3a10,则下列结论中正确的是()A.1a3B.1a4C.2a3D.2a4[答案]1.B[解析]∵134,∴134,即132,又∵4=2,∴3m4.故选B.2.B[解析]根据二次根式的近似值可知134=2,而3=9104,可得1a4.课堂考点探究3.[2018·重庆A卷]估计(230-24)×16的值应在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间[答案]B[解析](230-24)×16=230×16-24×16=25-2=20-2.∵4205,∴220-23.课堂考点探究探究五二次根式的非负性例5[2018·广东]已知𝑎-𝑏+|b-1|=0,则a+1=.[答案]2[解析]∵𝑎-𝑏+|b-1|=0,∴b-1=0,a-b=0,解得:b=1,a=1,故a+1=2.【命题角度】(1)由几个非负数的和为0求未知字母的值;(2)由二次根式的非负性求字母的取值范围.[方法模型](1)常见的非负数有三种形式:|a|,(a≥0),a2;(2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.课堂考点探究针对训练1.[2017·东营]若|x2-4x+4|与2𝑥-𝑦-3互为相反数,则x+y的值为()A.3B.4C.6D.9[答案]A[解析]|x2-4x+4|≥0且2𝑥-𝑦-3≥0,要使|x2-4x+4|与2𝑥-𝑦-3互为相反数,则x2-4x+4=0,且2x-y-3=0,解得x=2,y=1,所以x+y=3.课堂考点探究2.若𝑎-1+b2-4b+4=0,则ab的值等于()A.-2B.0C.1D.2[答案]D[解析]由𝑎-1+b2-4b+4=0,得a-1=0,b-2=0.解得a=1,b=2.ab=2.故选D.