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第3课时分式考点一分式的相关概念课前双基巩固分式的相关概念定义一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子①叫做分式有意义的条件分母不为②(B≠0)值为0的条件分子为0,且分母不为0(A=0且B≠0)考点聚焦𝐴𝐵0分式的基本性质𝐴𝐵=𝐴·𝑀𝐵·𝑀,𝐴𝐵=𝐴÷𝑀𝐵÷𝑀(其中A,B,M是整式,M≠0)约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式的同分母的分式,叫做分式的通分最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母几个分式中,各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,叫做最简公分母变号法则𝐴𝐵=--𝐴𝐵=-𝐴-𝐵=-𝐴-𝐵考点二分式的基本性质课前双基巩固相等课前双基巩固考点三分式的运算分式的加减同分母分式相加减分母不变,把分子相加减,即𝑎𝑐±𝑏𝑐=①异分母分式相加减先通分,变为同分母的分式,再加减,即𝑎𝑏±𝑐𝑑=②±③=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑𝑎±𝑏𝑐𝑎𝑑𝑏𝑑𝑏𝑐𝑏𝑑课前双基巩固分式的乘除乘法法则分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,即ab·cd=④除法法则分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即ab÷cd=⑤·⑥=adbc𝑎𝑐𝑏𝑑𝑎𝑏𝑑𝑐课前双基巩固分式的乘方法则分式的乘方把分子、分母分别乘方公式abn=⑦(n为整数)分式的混合运算法则在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,如果有括号,先算括号里面的特别说明(1)实数的各种运算律也适用于分式的运算;(2)分式运算的结果要化成最简分式或整式𝑎𝑛𝑏𝑛课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八上P133习题15.1第3题改编]x满足什么条件时下列分式有意义?(1)13𝑥;(2)13-𝑥;(3)𝑥-53𝑥+5;(4)1𝑥2-16.(1);(2);(3);(4).[答案](1)x≠0(2)x≠3(3)x≠-53(4)x≠±4课前双基巩固2.[八上P158复习题15第6(1)题]当x为时,分式3𝑥-62𝑥+1的值为0.3.[八上P147习题15.2第12题改编]绿化队原来用漫灌方式浇绿地,a天用水mt,现在改用喷灌方式,可使这些水多用3天,现在比原来每天节约用水吨.[答案]2.23.3𝑚𝑎(𝑎+3)[解析]𝑚𝑎-𝑚𝑎+3=3𝑚𝑎(𝑎+3).课前双基巩固4.[八上P146习题15.2第6(1)(3)题改编]计算:(1)1𝑎+1𝑏2÷1𝑎2-1𝑏2=;(2)𝑥𝑥+𝑦+2𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+2𝑦÷1𝑥+1𝑦=.5.[八上P159复习题15第11(1)题改编]计算:𝑥2-1𝑥2-2𝑥+1÷𝑥+1𝑥-1·1-𝑥1+𝑥=.[答案]4.(1)-𝑎+𝑏𝑎-𝑏(2)𝑥2𝑦2(𝑥+𝑦)2[解析](1)1𝑎+1𝑏2÷1𝑎2-1𝑏2=𝑎+𝑏𝑎𝑏2÷𝑏2-𝑎2𝑎2𝑏2=(𝑎+𝑏)2𝑎2𝑏2·𝑎2𝑏2(𝑏+𝑎)(𝑏-𝑎)=-𝑎+𝑏𝑎-𝑏.(2)𝑥𝑥+𝑦+2𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+2𝑦÷1𝑥+1𝑦=𝑥+2𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+2𝑦÷𝑥+𝑦𝑥𝑦=𝑥𝑦𝑥+𝑦·𝑥𝑦𝑥+𝑦=𝑥2𝑦2(𝑥+𝑦)2.5.-𝑥-1𝑥+1课前双基巩固题组二易错题【失分点】计算分式的值为0的条件时,容易忽略分母不为0的条件;分式计算中,容易在通分时因为负号忽视变号而出错.6.若分式𝑥2-4𝑥+2的值为0,则x的值是.7.-𝑚1-𝑚-1𝑚-1的计算结果是.[答案]6.27.1课堂考点探究探究一分式的有关概念【命题角度】(1)求使分式有(无)意义时未知数满足的条件;(2)求使分式值为0(正或负)时未知数的值(满足的条件).例1求当x取何值时,分式|𝑥|-22𝑥+4:(1)有意义;解:(1)2x+4≠0,即x≠-2时分式有意义.(2)无意义;(3)值为零.(2)2x+4=0,即x=-2时分式无意义.(3)|𝑥|-2=0,2𝑥+4≠0,解得x=2,即x=2时分式的值为0.课堂考点探究[方法模型](1)分式有意义的条件是分母不为零;分母为零时分式无意义.(2)分式的值为零的条件是:分式的分子为零,分母不为零.(3)分式的值为正的条件是:分子与分母同号;分式的值为负的条件是:分子与分母异号.分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查.课堂考点探究针对训练1.[2018·武汉]若分式1𝑥+2在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是()A.x-2B.x-2C.x=-2D.x≠-22.(1)若分式𝑥-2𝑥+1的值为0,则x的值为;(2)若分式𝑥2-4𝑥-2的值为0,则x的值为.[答案]1.D[解析]∵x+2≠0,∴x≠-2.故选D.2.(1)2(2)-2课堂考点探究探究二分式的基本性质的运用【命题角度】(1)判断分式的基本性质变形的正误;(2)对分式进行通分或约分.例2判断正误.(1)𝑎2-0.2𝑎𝑎2-0.3𝑎3=𝑎2-2𝑎𝑎2-3𝑎3;()(2)-𝑥+1𝑥-𝑦=𝑥-1𝑥-𝑦;()(3)1-12𝑎𝑎+13=6-3𝑎6𝑎+2;()(4)𝑏2-𝑎2𝑎+𝑏=a-b;()(5)-𝑥+𝑦𝑥-𝑦=-1;()(6)𝑥2-11-2𝑥+𝑥2=𝑥-1𝑥+1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×课堂考点探究[方法模型](1)在应用分式基本性质进行变形时,要注意“都”“同一个”“不等于0”这些字眼的意义,否则容易出现错误.(2)在进行通分或约分时,如果分式的分子或分母是多项式,先要将这些多项式进行因式分解.课堂考点探究针对训练1.下列分式中,最简分式是()A.𝑥2-1𝑥2+1B.𝑥+1𝑥2-1C.𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2𝑥2-𝑥𝑦D.𝑥2-362𝑥+122.下列等式成立的是()A.1𝑎+2𝑏=3𝑎+𝑏B.22𝑎+𝑏=1𝑎+𝑏C.𝑎𝑏𝑎𝑏-𝑏2=𝑎𝑎-𝑏D.𝑎-𝑎+𝑏=-𝑎𝑎+𝑏[答案]1.A[解析]B选项,𝑥+1𝑥2-1=𝑥+1(𝑥+1)(𝑥-1)=1𝑥-1;C选项,𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2𝑥2-𝑥𝑦=(𝑥-𝑦)2𝑥(𝑥-𝑦)=𝑥-𝑦𝑥;D选项,𝑥2-362𝑥+12=(𝑥+6)(𝑥-6)2(𝑥+6)=𝑥-62.故选A.2.C课堂考点探究探究三分式的化简与求值例3先化简:𝑥2+𝑥𝑥2-2𝑥+1÷2𝑥-1-1𝑥,然后再从-2x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值.解:𝑥2+𝑥𝑥2-2𝑥+1÷2𝑥-1-1𝑥=𝑥(𝑥+1)(𝑥-1)2÷2𝑥-(𝑥-1)𝑥(𝑥-1)=𝑥(𝑥+1)(𝑥-1)2·𝑥(𝑥-1)𝑥+1=𝑥2𝑥-1.其中,𝑥2-2𝑥+1≠0,(𝑥-1)𝑥≠0,𝑥+1≠0,即x≠±1且x≠0.又∵-2x≤2且x为整数,∴x=2.将x=2代入𝑥2𝑥-1,得𝑥2𝑥-1=222-1=4.[方法模型]分式的化简求值题满分攻略(1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对复杂的分式进行化简;(2)选择字母的值时,注意字母取值一定要使原分式有意义;(3)注意与解分式方程的区别,不能“去分母”.课堂考点探究针对训练1.[2017·丽水]化简𝑥2𝑥-1+11-𝑥的结果是()A.x+1B.x-1C.x2-1D.𝑥2+1𝑥-12.[2017·泰安]化简1-2𝑥-1𝑥2÷1-1𝑥2的结果为()A.𝑥-1𝑥+1B.𝑥+1𝑥-1C.𝑥+1𝑥D.𝑥-1𝑥[答案]1.A[解析]根据分式的加法法则,𝑥2𝑥-1+11-𝑥=𝑥2𝑥-1-1𝑥-1=𝑥2-1𝑥-1=(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥-1=x+1,选A.2.A[解析]1-2𝑥-1𝑥2÷1-1𝑥2=(𝑥-1)2𝑥2÷(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥2=(𝑥-1)2𝑥2·𝑥2(𝑥+1)(𝑥-1)=𝑥-1𝑥+1.课堂考点探究3.[2019·原创]下列运算结果为x-1的是()A.1-1𝑥B.𝑥2-1𝑥·𝑥𝑥+1C.𝑥+1𝑥÷1𝑥-1D.𝑥2+2𝑥+1𝑥+14.[2018·南充]已知1𝑥-1𝑦=3,则代数式2𝑥+3𝑥𝑦-2𝑦𝑥-𝑥𝑦-𝑦的值是()A.-72B.-112C.92D.34[答案]3.B4.D[解析]∵1𝑥-1𝑦=3,∴y-x=3xy,∴x-y=-3xy,∴原式=2(𝑥-𝑦)+3𝑥𝑦(𝑥-𝑦)-𝑥𝑦=-6𝑥𝑦+3𝑥𝑦-3𝑥𝑦-𝑥𝑦=-3𝑥𝑦-4𝑥𝑦=34,故选D.课堂考点探究5.[2017·南充]化简1-𝑥𝑥2+𝑥÷𝑥-1𝑥+1,再任取一个你喜欢的数代入求值.解:原式=1-1𝑥+1÷𝑥-1𝑥+1=𝑥𝑥+1·𝑥+1𝑥-1=𝑥𝑥-1.∵x-1≠0,x(x+1)≠0,∴x≠±1,x≠0,当x=5时,原式=55-1=54.(选取的x值不唯一)课堂考点探究6.[2017·鄂州]先化简,再求值:x-1+3-3𝑥𝑥+1÷𝑥2-𝑥𝑥+1,其中x的值从不等式组2-𝑥≤3,2𝑥-41的整数解中选取.解:x-1+3-3𝑥𝑥+1÷𝑥2-𝑥𝑥+1=𝑥2-1+3-3𝑥𝑥+1×𝑥+1𝑥(𝑥-1)=(𝑥-1)(𝑥-2)𝑥+1×𝑥+1𝑥(𝑥-1)=𝑥-2𝑥.2-𝑥≤3,①2𝑥-41,②解不等式①得x≥-1,解不等式②得x2.5,∴不等式组的解集是-1≤x2.5,整数解有-1,0,1,2.∵x+1≠0且x(x-1)≠0,∴x≠±1且x≠0,∴当x=2时,原式=0.