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第2课时整式及因式分解考点一整式的概念课前双基巩固内容整式单项式多项式定义数或字母的①的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和考点聚焦1.同类项:所含字母①,并且相同字母的指数也②的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.考点二同类项、合并同类项课前双基巩固相同相同防错提醒:(1)同类项与系数无关,也与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.课前双基巩固考点三整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是①.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=②(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=③(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=④(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑤(a≠0,m,n都为整数)合并同类项am+namnanbnam-n课前双基巩固整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘m(a+b+c)=⑥多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=⑦ma+mb+mcma+mb+na+nb课前双基巩固整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式(am+bm)÷m=a+b乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑧完全平方公式(a±b)2=⑨常用恒等变形(1)a2+b2=⑩=;(2)(a-b)2=-4aba2-b2a2±2ab+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)2课前双基巩固考点四因式分解的概念与基本方法因式分解把一个多项式化成几个整式的①的形式,叫做这个多项式的因式分解公因式一个多项式各项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法ma+mb+mc=②积m(a+b+c)课前双基巩固运用公式法a2-b2=③;a2+2ab+b2=④;a2-2ab+b2=⑤;x2+(p+q)x+pq=⑥因式分解的一般步骤(1)提(提公因式);(2)套(套公式);(3)验(检验是否分解彻底)(a+b)(a-b)(a+b)2(a-b)2(x+p)(x+q)课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八上P104习题14.1第1题改编]下面的计算,错误的有()(1)b3·b3=2b3;(2)x4·x4=x16;(3)(a5)2=a7;(4)(a3)2·a4=a9;(5)(ab2)3=ab6;(6)(-2a)2=-4a2.A.3个B.4个C.5个D.6个[答案]D课前双基巩固2.[八上P125复习题14第7题改编]分解因式:(1)x3-9x=;(2)16x4-1=;(3)6xy2-9x2y-y3=;(4)(2a-b)2+8ab=.3.[八上P112习题14.2第7题改编]已知a+b=4,ab=2,则a2+b2=.4.[八上P112习题14.2第4题改编]计算:(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)=.[答案]2.(1)x(x+3)(x-3)(2)(4x2+1)(2x+1)(2x-1)(3)-y(3x-y)2(4)(2a+b)23.12[解析]∵a+b=4,ab=2,∴(a+b)2=16,即a2+2ab+b2=16,于是a2+b2=16-2ab=16-2×2=12.4.10y2+12xy课前双基巩固题组二易错题【失分点】分解因式时对提公因式法和公式法掌握不彻底;对同类项的概念理解不清.5.下列分解因式正确的是()A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)[答案]C[解析]A.-x2+4x=-x(x-4),故此选项错误;B.x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误;C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项正确;D.x2-4x+4=(x-2)2,故此选项错误.故选:C.课前双基巩固6.下列各题中的两项是同类项的有(只填序号).①a3与b3;②-2与3;③13a3b与ba3;④-13a2b2与0.2a2b2.[答案]②③④课堂考点探究探究一整式的运算【命题角度】(1)辨别幂的运算、乘法公式及整式运算的正误;(2)化简求值.例1判断正误.(1)a2+a3=a5;()(2)a2a3=a6;()(3)(a2)3=a5;()(4)a5÷a2=a3;()(5)(a+b)(a-b)=a2-b2;()(6)(a-b)2=a2-b2;()(7)(a+b)2=a2+b2;()(8)-2x(x-y)=-2x2-2xy;()(9)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×(7)×(8)×(9)×课堂考点探究[方法模型](1)混淆法则;(2)符号错误,易忽视诸如“(-a2)3”这类负号问题;(3)套错乘法公式.课堂考点探究针对训练1.下列计算正确的是()A.a2+a2=2a4B.(-a2b)3=-a6b3C.a2·a3=a6D.a8÷a2=a4[答案]B[解析]A.合并同类项a2+a2=2a2;B选项正确;C.同底数幂的乘法:底数不变,指数相加:a2·a3=a2+3=a5;D.同底数幂的除法:底数不变,指数相减:a8÷a2=a8-2=a6.课堂考点探究2.[2017·金华]在下列的计算中,正确的是()A.m3+m2=m5B.m5÷m2=m3C.(2m)3=6m3D.(m+1)2=m2+13.[2018·鄂州]下列运算正确的是()A.5x+4x=9x2B.(2x+1)(1-2x)=4x2-1C.(-3x3)2=6x6D.a8÷a2=a6[答案]2.B3.D课堂考点探究4.已知a+b=5,ab=3,则:(1)a2b+ab2的值为;(2)a2+b2的值为;(3)(a2-b2)2的值为.[答案](1)15(2)19(3)325[解析](1)原式=ab(a+b)=3×5=15;(2)原式=(a+b)2-2ab=52-2×3=25-6=19;(3)原式=(a-b)2(a+b)2=25(a-b)2=25[(a+b)2-4ab]=25×(25-4×3)=25×13=325.课堂考点探究5.[2017·宁波]先化简,再求值:(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=32.6.[2019·原创]先化简,再求值:(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中x=-3.5.解:原式=4-x2+x2+4x-5=4x-1,当x=32时,原式=4×32-1=6-1=5.6.解:原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5,当x=-3时,原式=(-3)2-5=3-5=-2.课堂考点探究7.[2018·河北]嘉淇准备完成题目:化简:(x2+6x+8)-(6x+5x2+2).发现系数“”印刷不清楚.(1)他把“”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2);(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几?解:(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6.(2)(x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=(-5)x2+6.∵最终结果是常数,∴=5.课堂考点探究探究二因式分解例2分解因式:(1)[2017·丽水]m2+2m=;(2)[2017·金华]x2-4=;(3)[2017·岳阳]x2-6x+9=;(4)[2018·东营]x3-4xy2=;(5)[2017·安徽]a2b-4ab+4b=;(6)[2017·潍坊]x2-2x+(x-2)=.[答案](1)m(m+2)(2)(x+2)(x-2)(3)(x-3)2(4)x(x+2y)(x-2y)(5)b(a-2)2(6)(x+1)(x-2)课堂考点探究[方法模型](1)提公因式时,若括号内合并的项有公因式应再次提取;(2)注意符号的变换:y-x=-(x-y),(y-x)2=(x-y)2;(3)应用公式法分解因式时,要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点;(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止.课堂考点探究针对训练1.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式a+1的是()A.a2-1B.a2+aC.a2+a-2D.(a+2)2-2(a+2)+1[答案]C[解析]A:原式=(a+1)(a-1),不符合题意;B:原式=a(a+1),不符合题意;C:原式=(a+2)(a-1),符合题意;D:原式=(a+2-1)2=(a+1)2,不符合题意.故选C.课堂考点探究2.把8a3-8a2+2a进行因式分解,结果正确的是()A.2a(4a2-4a+1)B.8a2(a-1)C.2a(2a-1)2D.2a(2a+1)23.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3[答案]2.C[解析]原式提取公因式,再利用完全平方公式分解,8a3-8a2+2a=2a(4a2-4a+1)=2a(2a-1)2.3.B课堂考点探究4.[2018·攀枝花]分解因式:x3y-2x2y+xy=.5.[2018·菏泽]若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.6.如图2-1中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式(要求等式左边为两个因式乘积的形式):.图2-1[答案]4.xy(x-1)2[解析]x3y-2x2y+xy=xy(x2-2x+1)=xy(x-1)2.5.-12[解析]∵a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×22=-12.6.m(a+b+c)=ma+mb+mc课堂考点探究7.[2017·衢州]如图2-2,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是.图2-2[答案]a+6[解析]根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理.拼成的长方形的面积=(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6),∵拼成的长方形一边长为a,∴另一边长是a+6.