搜索
第1课时实数考点一实数的概念及分类课前双基巩固有理数正有理数零负有理数有限小数和无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数无理数常见的四种形式含有π的数,如π3,2π等;开方开不尽的数,如3,23等;某些三角函数值,如sin45°等;特定结构的数,如1.5252252225…(每相邻两个5之间依次多一个2)等考点聚焦1.数轴:规定了原点、①和②的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数:a的相反数是③,0的相反数是0.3.倒数:乘积是④的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是⑤.考点二实数的有关概念课前双基巩固图1-1正方向单位长度-a1±1课前双基巩固4.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑥(𝑎0).5.科学记数法:把一个数写成⑦(其中1≤|a|10,n为整数)的形式.设这个数为m:(1)当|m|≥10时,n等于原数的整数位数减1;(2)当|m|1时,|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零).6.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.-aa×10n课前双基巩固考点三非负数1.概念:正数和零叫做非负数.常见的非负数有𝑎,a2,𝑎(a≥0).2.性质:若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.如:若a2+|b|+𝑐=0,则有a2=0,|b|=0,𝑐=0,则有a=b=c=0.课前双基巩固考点四实数的运算运算律交换律a+b=①,ab=②结合律(a+b)+c=③,(ab)c=④分配律a(b+c)=⑤实数的幂运算零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=1(a≠0)负整数次幂规定a-n=1an(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=1a(a≠0)-1的奇偶次幂-1的奇次幂为-1,偶次幂为1运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行⑥运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行a(bc)b+abaa+(b+c)ab+ac括号内的课前双基巩固[警示]理解负整数指数幂的意义,防止出现以下错误:(1)3-2=-19;(2)2a-2=12𝑎2.课前双基巩固考点五实数的大小比较代数比较法正数①零,负数②零,正数③负数;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而④几何比较法在数轴上表示的两个实数,⑤的数总是大于⑥的数差值比较法若a,b是任意两个实数,则a-b0⇔ab;a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b平方比较法若a,b是任意的两个正数,则ab⇔ab大于小于大于小右边左边课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[七下P57习题6.3第2题改编]下列数中属于无理数的有()227,3.14159265,7,-8,23,0.6,0,36,𝜋3.A.1个B.2个C.3个D.4个2.[七上P4练习第3题]如果水位升高3m时水位变化记作+3m,那么水位下降3m时水位变化记作m,水位不升不降时水位变化记作m.[答案]1.C2.-30课前双基巩固3.[七上P51复习题1第3题改编]-23的相反数是,-23的绝对值是,-23的倒数是.4.[七上P52复习题1第13题改编]一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.4960亿km.试用科学记数法表示1个天文单位是km.[答案]3.2323-324.1.496×108课前双基巩固5.[七下P54探究改编]如图1-2,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是.图1-2[答案]π课前双基巩固题组二易错题【失分点】分解因式时对提公因式法和公式法掌握不彻底;对同类项的概念理解不清.6.[2018·益阳改编]2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万千米,居世界第一.将13.5万用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×1037.-|3-2|去绝对值的结果是.[答案]6.B7.-2+3[解析]原式=-(2-3)=-2+3.课堂考点探究探究一实数的概念及分类【命题角度】(1)识别无理数;(2)指出一组数中的负数、负分数或负整数等.例1实数tan45°,83,0,-35π,9,-13,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),其中无理数的个数是()A.4B.3C.2D.1[答案]B课堂考点探究针对训练1.[2018·聊城]下列实数中的无理数是()A.1.21B.-83C.-332D.2272.[2018·咸宁]写出一个比2大比3小的无理数(用含根号的式子表示).[答案]1.C[解析]1.21,-83,227是有理数,-332是无理数.2.5(答案不唯一)课堂考点探究探究二实数的有关概念【命题角度】(1)直接求一个数的相反数、倒数与绝对值;(2)在数轴上表示实数或者实数的范围.课堂考点探究例2如图1-3为洪涛同学的小测卷,他的得分应是分.姓名洪涛得分填空(每小题25分,共100分)①2的相反数是-2;②倒数等于它本身的数是1和-1;③-1的绝对值是1;④8的立方根是2.图1-3[答案]100[方法模型]解绝对值有关问题时常用到用字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想.课堂考点探究针对训练1.下列说法正确的是()A.|-2|=-2B.0的倒数是0C.4的平方根是2D.-3的相反数是3[答案]D[解析]A选项,|-2|=2,错误;B选项,0没有倒数,错误;C选项,4的平方根为±2,错误;D选项,-3的相反数为3,正确.课堂考点探究2.当1a2时,代数式|a-2|+|1-a|的值是()A.-1B.1C.3D.-33.[2018·枣庄]实数a,b,c,d在数轴上的位置如图1-4所示,下列关系式不正确的是()A.|a||b|B.|ac|=acC.bdD.c+d0[答案]2.B3.B[解析]从a,b,c,d在数轴上的位置可知:ab0,dc1.A.|a||b|,故本选项不符合题意;B.a,c异号,则|ac|=-ac,故本选项符合题意;C.bd,故本选项不符合题意;D.dc1,则c+d0,故本选项不符合题意.故选B.图1-4课堂考点探究探究三科学记数法与近似数例3用科学记数法表示下列各数:(1)3470000000=;(2)-0.000001005=;(3)30900亿=.[答案](1)3.47×109(2)-1.005×10-6(3)3.09×1012[方法模型](1)带有计数单位的数,一般先把计数单位化去(即把数还原成不用计数单位表示的数),再用科学记数法表示.(2)常用的计数单位有1亿=108,1万=104;计量单位有1毫米=10-3米等.课堂考点探究针对训练1.[2018·河北]一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010,则原数中0的个数为()A.4B.6C.7D.10[答案]B课堂考点探究2.[2018·山西]黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河,黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观,其落差约30米,年平均流量1010立方米/秒.若以小时作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为()A.6.06×104立方米/时B.3.136×106立方米/时C.3.636×106立方米/时D.36.36×105立方米/时[答案]C[解析]1010立方米/秒=1.010×103×3600立方米/时=3.636×106立方米/时.课堂考点探究3.[2017·达州]达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×106平方米,则原数为平方米.[答案]7920000课堂考点探究探究四实数的运算例4计算:-|-1|+12cos30°--12-2+(π-3.14)0.解:原式=-1+23×32-4+1=-1+3-4+1=-1.[方法模型]实数混合运算满分技巧:负指数幂a-p=1𝑎𝑝(a≠0且p是正整数),零指数幂a0=1(a≠0),(-1)2n+1=-1,(-1)2n=1(n是整数).课堂考点探究针对训练1.[2018·金华]计算:8+(-2018)0-4sin45°+|-2|.解:原式=22+1-4×22+2=22+1-22+2=3.课堂考点探究2.[2018·宿迁]计算:(-2)2-(π-7)0+|3-2|+2sin60°.解:原式=4-1+2-3+2×32=4-1+2-3+3=5.课堂考点探究3.[2018·东营]计算:2-3+(2+1)0-3tan30°+(-1)2018-12-1.解:原式=2-3+1-3×33+1-2=2-3+1-3+1-2=2-23.课堂考点探究4.[2018·内江]计算:8-|-2|+(-23)2-(π-3.14)0×12-2.解:原式=22-2+12-1×4=2+12-4=2+8.课堂考点探究探究五实数的大小比较例5[2017·酒泉改编]5-120.5.(填“”“”或“=”)[答案][解析]∵0.5=12,又52,∴5-11,∴5-1212.课堂考点探究针对训练1.在-2,20,2-1,2这四个数中,最大的数是()A.-2B.20C.2-1D.2[答案]A[解析]|-2|=2,20=1,2-1=0.5,∵0.5122,∴2-1202|-2|,∴在|-2|,20,2-1,2这四个数中,最大的数是|-2|.课堂考点探究2.当0x1时,x2,x,1𝑥的大小顺序是()A.x2x1𝑥B.1𝑥xx2C.1𝑥x2xD.xx21𝑥[答案]A[解析]当0x1时,在不等式两边都乘以x,可得0x2x,在不等式两边都除以x,可得011𝑥,又∵x1,∴x2,x,1𝑥的大小顺序是:x2x1𝑥.故选A.课堂考点探究探究六实数与数轴【命题角度】(1)把数轴与相反数、绝对值等概念结合,解决数形结合的相关问题;(2)数轴与实数大小比较、实数运算结合;(3)利用数轴确定字母的取值范围,对代数式进行化简.课堂考点探究[答案]A[解析]∵n+q=0,∴n和q互为相反数,∴实数0对应的点在线段NQ的中点处,∴距离原点最远的点为P点,∴绝对值最大的数是p,故选A.例6如图1-5,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是()A.pB.qC.mD.n图1-5[方法模型]实数与数轴上的点一一对应,把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题.课堂考点探究针对训练1.实数a在数轴上的位置如图1-6,则化简|a-3|的结果正确的是()A.3-aB.-a-3C.a-3D.a+3[答案]A[解析]∵由数轴可得:0a3,∴|a-3|=-(a-3)=3-a.图1-6课堂考点探究2.如图1-7,数轴上A,B两点表示的数分别为2和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有()A.6个B.5个C.4个D.3个[答案]C[解析]∵122,55.16,∴A,B两点之间的点表示的整数有2,3,4,5,共有4个.图1-7课堂考点探究3.[2018·乐山]如图1-8,在数轴上,点A表示的数为-1,点B表示的数为4,C是点B关于点A的对称点,则点C表示的数为.[答案]-6[解析]本题考查的是实数与数轴,解题的关键是正确理解点与点之间的对称关系,∵点A表示的数为-1,点B表示的数为4,∴AB=5,∵点C是点B关于点A的对称点,∴CA=BA=5,又∵点A表示的数为-1,∴点C表示的数是-6,故答案为-6图1-8