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第20课时直角三角形与勾股定理考点一直角三角形的概念、性质与判定课前双基巩固考点聚焦定义有一个角是①的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角②(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于③(3)直角三角形斜边上的中线等于④直角互余斜边的一半斜边的一半课前双基巩固判定(1)两个内角⑤的三角形是直角三角形(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;(2)Rt△ABC内切圆半径r=a+b-c2,外接圆半径R=c2,即等于斜边的一半互余课前双基巩固勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么①勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c满足②,那么这个三角形是直角三角形勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数考点二勾股定理及逆定理a2+b2=c2a2+b2=c2考点三命题、定义、定理、基本事实课前双基巩固定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为①错误的命题称为②组成每个命题都由③和④两个部分组成基本事实公认的真命题称为⑤定理除基本事实以外,其他真命题的正确性都需要经过推理的方法证实,推理的过程称为⑥.经过证明的真命题称为⑦真命题假命题题设结论基本事实证明定理考点四互逆命题、互逆定理及其关系课前双基巩固互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果我们把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的①互逆定理若一个定理的逆命题是正确的,则它就是这个定理的②,称这两个定理为互逆定理逆命题逆定理课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八下P24练习第2题改编]如图20-1,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,则最大正方形E的面积为.图20-1[答案]625课前双基巩固2.[八下P25例2改编]如图20-2,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B外移了m.(结果精确到0.01m)图20-2[答案]0.77[解析]∵在Rt△OAB中,AB=2.6m,AO=2.4m,∴OB=𝐴𝐵2-𝐴𝑂2=2.62-2.42=1(m).同理,在Rt△OCD中,∵CD=2.6m,OC=2.4-0.5=1.9(m),∴OD=𝐶𝐷2-𝑂𝐶2=2.62-1.92=3.15≈1.77(m),∴BD=OD-OB≈1.77-1=0.77(m).课前双基巩固3.[八下P34习题17.2第5题改编]如图20-3,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,则四边形ABCD的面积是.图20-3[答案]36[解析]在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,根据勾股定理,得AC=5,∴S△ABC=12AB·BC=12×4×3=6.在△ACD中,AC=5,AD=13,CD=12,∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD为直角三角形,∴S△ACD=12AC·CD=12×5×12=30,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36.课前双基巩固题组二易错题4.[2018·黄冈]如图20-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()图20-4A.2B.3C.4D.23【失分点】直角三角形斜边上的中线的性质,忽视“直角三角形”这一必要条件;在利用勾股定理时,所给的边没确定是直角边还是斜边,忽视分类讨论造成漏解.[答案]C课前双基巩固5.若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是.[答案]5或7课堂考点探究探究一直角三角形的性质例1如图20-5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.【命题角度】(1)应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长,或得到相等的线段;(2)运用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”进行证明与计算.图20-5解:(1)证明:在△CAD中,∵M,N分别是AC,CD的中点,∴MN∥AD,MN=12AD,在Rt△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=12AC,∵AC=AD,∴MN=BM.课堂考点探究(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)可知,BM=12AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由(1)可知MN=BM=12AC=1,∴BN=2.例1如图20-5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.图20-5课堂考点探究针对训练00000000000[答案]2[解析]∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,即CD是直角三角形斜边上的中线,∴AB=2CD=2×2=4,又∵E,F分别是BC,CA的中点,即EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB=12×4=2.1.[2017·宿迁]如图20-6,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=2,则线段EF的长是.图20-6课堂考点探究[答案]12[解析]连接AD,∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠DAC=∠C=30°,∴AD=CD=2DE=2×2=4(cm),∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°,∴BD=2AD=8(cm),∴BC=BD+CD=12cm.2.如图20-7,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC交BC于D,垂足为E,若DE=2cm,则BC=cm.图20-7课堂考点探究[答案]3[解析]连接CM,∵M,N分别是AB,AC的中点,∴NM=12CB,MN∥BC,又CD=13BD,∴MN=CD,又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=12AB=3,∴DN=3.3.如图20-8,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分别是AB,AC的中点,延长BC至点D,使CD=13BD,连接DM,DN,MN.若AB=6,则DN=.图20-8课堂考点探究4.[2018·重庆A卷]如图20-9,把三角形纸片折叠,使点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=23厘米,则△ABC的边BC的长为厘米.图20-9[答案](43+6)[解析]如图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=23厘米,∴EM=12EG=3(厘米).在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG=(23)2-(3)2=3(厘米),从而AG=6厘米.由折叠可知,BE=AE=23厘米,GC=AG=6厘米.∴BC=BE+EG+GC=23+23+6=43+6(厘米).课堂考点探究探究二利用勾股定理进行计算例2[2018·襄阳]已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为.【命题角度】(1)利用勾股定理求线段的长度;(2)勾股定理的验证;(3)利用勾股定理解决折叠问题.课堂考点探究[答案]23或27[解析]分两种情况讨论:①当CD在△ABC内部时,如图.在Rt△ACD中,由勾股定理得AC=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=2.∴AB=2AC=4,∴BD=AB-AD=3.在Rt△BCD中,由勾股定理得,BC=𝐶𝐷2+𝐷𝐵2=23.②当CD在△ABC外部时,如图.此时,AB=4,BD=BA+AD=5,在Rt△CBD中,由勾股定理得,BC=𝐶𝐷2+𝐷𝐵2=27.综上所述,BC的长为23或27.故答案为23或27.课堂考点探究针对训练00000000000[答案]B[解析]设ED=x,则AE=6-x.∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC.由题意得∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2=AB2+AE2,即x2=32+(6-x)2,解得x=154,∴ED=154.故选B.1.如图20-10,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为()图20-10A.3B.154C.5D.152课堂考点探究2.[2017·绍兴]如图20-11,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为()图20-11A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米[答案]C[解析]在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25,∵BD0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).课堂考点探究探究三勾股定理的逆定理的应用例3以下列各组线段为边,能构成直角三角形的是()A.1cm,2cm,3cmB.2cm,6cm,3cmC.1cm,2cm,3cmD.2cm,3cm,4cm【命题角度】(1)已知三角形三边长,判断是否为直角三角形;(2)根据三角形三边,证明垂直.[答案]C[解析]判断一组线段是否能构成直角三角形,要看较小两边的平方和是否等于最长边的平方,A.∵12+22≠32,∴不能构成直角三角形;B.∵(2)2+(3)2≠(6)2,∴不能构成直角三角形;C.∵12+(3)2=22,∴能构成直角三角形;D.∵22+32≠42,∴不能构成直角三角形.课堂考点探究如图20-12,在四边形ABCD中,AB=1,BC=1,CD=2,DA=6,且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积为.图20-12[答案]12+2[解析]如图,连接AC.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=2,∵AC2+CD2=AD2,∴△CDA也为直角三角形,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB×BC+12AC×CD=12+2.故四边形ABCD的面积是12+2.针对训练课堂考点探究探究四利用勾股定理解决生活中的实际问题例4[2017·十堰]如图20-13,已知圆柱的底面直径BC=6π,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为()A.32B.35C.65D.62【命题角度】(1)求有关长度问题;(2)求最短路径问题.图20-13[答案]D[解析]圆柱的侧面展开图如图所示,点A,C间的最短距离为线段AC的长.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=AB=3,所以AC=32,同理AC'=32.∴小虫爬行的最短路程为2AC=62.课堂考点探究[方法模型]转化思想——在求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图形,然后再利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离.课堂考点探究针对训练1.如图20-14,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭