搜索
第17课时三角形考点一三角形的分类课前双基巩固考点聚焦1.按角分:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2.按边分:三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形课前双基巩固三线性质图形备注中线BD=CD一般用三角形的一边上的中线把三角形分成面积相等的两部分这一性质来解题高线AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=90°一般作三角形高线求三角形面积或构造直角三角形利用勾股定理解题角平分线∠BAD=∠CAD=12∠BAC一般需结合三角形内角和定理及推论来解题考点二三角形中的重要线段考点三三角形的中位线课前双基巩固1.定义:连接三角形两边①的线段叫做三角形的中位线.2.中位线定理:三角形的中位线②于第三边,并且等于第三边的③.中点平行一半考点四三角形的三边关系课前双基巩固1.定理:三角形两边的和①第三边.2.推论:三角形两边的差②第三边.3.三角形的稳定性:三条线段组成三角形后,形状无法改变是稳定性的体现.大于小于考点五三角形的内角和定理及推论课前双基巩固定理三角形的内角和等于①推论三角形的一个外角等于和它②的和三角形的一个外角大于任何一个和它③的内角直角三角形的两个锐角④三角形的外角和为⑤180°不相邻的两个内角不相邻互余360°课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八上P8习题11.1第2题改编]长为10,7,5,3的四根木条,选其中三根组成三角形,有选法()图17-1A.1种B.2种C.3种D.4种2.[八上P16习题11.2第5题改编]如图17-1,AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1=,∠2=.[答案]1.B2.40°85°课前双基巩固题组二易错题3.下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm【失分点】三角形的三边关系理解不清;涉及三角形的高线,常常需要分类讨论高线在形内还是形外;注意三角形的中线与中位线的区别.[答案]B课前双基巩固4.从△ABC顶点A作高线AD和角平分线AE,若AD与AE的夹角为15°,且∠B=50°,则∠C=.[答案]20°或80°[解析]当∠B∠C时,如图①中,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠CAE=55°,∴∠BAC=110°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-110°=20°.当∠B∠C时,如图②中,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠EAC=25°,∴∠DAC=10°,∴∠C=90°-∠DAC=80°,综上所述,∠C=20°或80°.②课前双基巩固5.如图17-2,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果DE=2.5,那么△ACD的周长是多少.图17-2解:∵D,E分别是AB,BC的中点,∴AC=2DE=5,AC∥DE,∵AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∵AC∥DE,∴∠DEB=90°,又∵E是BC的中点,∴直线DE是线段BC的垂直平分线,∴DC=BD,∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18.课堂考点探究探究一三角形三边的关系例1满足下列条件的三条线段a,b,c,能组成三角形,判断正误:①a=2,b=3,c=4;()②a=3,b=5,c=2;()③1,2,3;()④a∶b∶c=1∶2∶3;()⑤a=m+1,b=m+2,c=2m(m2).()[答案]①√②×③×④×⑤√课堂考点探究针对训练[答案]1.C[解析]利用“三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边”可得,7-2x7+2,解得5x9,x的值可以是6.2.A[解析]∵|a-4|+𝑏-2=0,∴a-4=0,a=4;b-2=0,b=2.则4-2c4+2,2c6,5符合条件.3.1c5[解析]由题意,得a2-9=0,b-2=0,解得a=3(舍负值),b=2,∴3-2c3+2,即1c5.1.[2017·舟山]长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是()A.4B.5C.6D.92.若a,b,c为△ABC的三边长,且满足|a-4|+𝑏-2=0,则c的值可以为()A.5B.6C.7D.83.若a,b,c为三角形的三边,且a,b满足𝑎2-9+(b-2)2=0,则第三边c的取值范围是.课堂考点探究探究二三角形内角与外角的应用例2(1)在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.(2)在△ABC中,∠ABC的平分线BE与∠ACB的外角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.(3)在△ABC中,∠ABC的外角平分线BE与∠ACB的外角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=.[答案](1)120°(2)30°(3)60°[解析](1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵BE,CD是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠CBE=12∠ABC,∠BCD=12∠BCA,∴∠CBE+∠BCD=12(∠ABC+∠BCA)=60°,∴∠BFC=180°-60°=120°.(2)∠BFC=12∠A=12×60°=30°.(3)∠BFC=90°-12∠A=90°-12×60°=60°.课堂考点探究针对训练[答案]B[解析]由角平分线和三角形内角和的知识,可知∠ABC=50°,∠BAC=60°,∠C=70°,则∠DAC=20°.1.[2017·德阳]如图17-3,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是()图17-3A.15°B.20°C.25°D.30°课堂考点探究[答案]𝜃2𝜃2𝑛[解析]∵A1B是∠ABC的平分线,A1C是∠ACD的平分线,∴∠A1BC=12∠ABC,∠A1CD=12∠ACD.又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,∴12(∠A+∠ABC)=12∠ABC+∠A1,∴∠A1=12∠A.∵∠A=θ,∴∠A1=𝜃2.同理可得∠A2=12∠A1=12×12θ=𝜃22,…,所以∠An=𝜃2𝑛.2.如图17-4,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ,则∠A1=,∠An=.图17-4课堂考点探究探究三三角形中的重要线段【命题角度】(1)三角形的中线、角平分线、高的相关计算;(2)由三角形的中位线,结合平行线等知识进行线段的倍半关系计算或证明.例3[2018·达州]如图17-5,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为()A.32B.2C.52D.3[答案]C[解析]∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,在△BNA和△BNE中,∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐸𝐵𝑁,𝐵𝑁=𝐵𝑁,∠𝐴𝑁𝐵=∠𝐸𝑁𝐵,∴△BNA≌△BNE,∴BA=BE,∴△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,∴点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),∴MN是△ADE的中位线,∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=12DE=52.图17-5课堂考点探究[方法模型](1)三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题;(2)当题目中有中点时要想到三角形的中位线定理或作出中线.课堂考点探究1.如图17-6,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()图17-6A.7B.8C.9D.10[答案]B[解析]在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC=10,∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=12BC=3,∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=12AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.针对训练课堂考点探究[答案]2[解析]在Rt△ABC中,∵D为AB中点,∴CD=12AB=4,∵AF=DF,AE=EC,∴EF=12CD=2.2.[2017·淮安]如图17-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF=.图17-7课堂考点探究[答案]1[解析]∵AE为△ABC的角平分线,CH⊥AE,∴△ACF是等腰三角形,∴AF=AC,HF=CH,∵AC=3,∴AF=AC=3,∵AD为△ABC的中线,∴DH是△BCF的中位线,∴DH=12BF,∵AB=5,∴BF=AB-AF=5-3=2.∴DH=1.3.如图17-8,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD,AE分别为△ABC的中线和角平分线,过点C作CH⊥AE于点H,并延长交AB于点F,连接DH,则线段DH的长为.图17-8