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第14课时二次函数的图象及其性质(二)考点一二次函数与一元二次方程的关系课前双基巩固考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式Δ=b2-4ac的符号方程ax2+bx+c=0实根的个数①个Δ0②的实根1个Δ③两个相等的实根没有Δ④⑤实根2两个不相等=00没有课前双基巩固项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下考点二二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系课前双基巩固bb=0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交课前双基巩固b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有两个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c0,则x=1时,y0若a-b+c0,则x=-1时,y0考点三二次函数图象的平移课前双基巩固将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如图14-1所示.图14-1[注意]确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式,利用顶点的平移来研究图象的平移.课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P35例3改编]怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=-12(x+1)2-1()A.左移1个单位、上移1个单位B.左移1个单位、下移1个单位C.右移1个单位、上移1个单位D.右移1个单位、下移1个单位[答案]B课前双基巩固2.[九上P47习题22.2第5题改编]如图14-2是函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是;(2)函数值大于0时x的取值范围是;(3)函数值小于0时x的取值范围是.[答案](1)x1=-1,x2=3(2)x-1或x3(3)-1x3图14-2课前双基巩固题组二易错题【失分点】二次函数的图象左右平移时如何避免不在顶点式中加减出现混乱;对于a-b+c=0等特别式子不能挖掘出内在含义.[答案]D3.抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是()A.先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度C.先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度课前双基巩固4.如图14-3是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()A.b24acB.ac0C.2a-b=0D.a-b+c=0[答案]D图14-3课堂考点探究探究一二次函数与一元二次方程[答案]12[解析]∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是直线x=32.又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴根据抛物线的对称性知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.例1已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是x1=,x2=.课堂考点探究针对训练1.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=5[答案]D[解析]由题意知此抛物线的对称轴是直线x=2,故b=-4,得方程x2-4x=5,解之,得x1=-1,x2=5.课堂考点探究2.[2017·徐州]若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1且b≠0B.b1C.0b1D.b13.[2017·镇江]若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=.[答案]2.A[解析]∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,∴𝛥=(-2)2-4𝑏0,𝑏≠0,解得b1且b≠0.3.4[解析]二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,说明Δ=b2-4ac=0,即(-4)2-4×1·n=0,所以n=4.课堂考点探究探究二抛物线的平移例2[2018·哈尔滨]将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3【命题角度】利用平移规律求二次函数的解析式或图象的顶点坐标.[答案]A[解析]将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,得到y=-5(x+1)2+1,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为:y=-5(x+1)2-1.课堂考点探究针对训练1.[2017·湖北]将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为()A.y=2x2+1B.y=2x2-3C.y=2(x-8)2+1D.y=2(x-8)2-3[答案]A[解析]将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度,得到的抛物线解析式为y=2(x-4+4)2-1,即y=2x2-1,再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2,即y=2x2+1.课堂考点探究2.要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是()A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位[答案]D[解析]因为y=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以其顶点为(-1,2),因为抛物线y=x2的顶点为(0,0),所以抛物线y=x2+2x+3应向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到抛物线y=x2,故选D.课堂考点探究探究三二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系例3已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-4所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.判断正误:①b2-4ac0;()②abc0;()③a-b+c0;()④m-2.()图14-4课堂考点探究[答案]①×②√③×④√[解析]直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间的关系分析.图象与x轴有两个交点,则b2-4ac0,故①错误;∵图象开口向上,∴a0,∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴b0,∵图象与y轴交于x轴下方,∴c0,∴abc0,故②正确;当x=-1时,a-b+c0,故③错误;∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点纵坐标为-2,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,∴m-2,故④正确.课堂考点探究针对训练1.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)[答案]D[解析]此题可将b+c=0代入二次函数,变形得y=x2+b(x-1),若图象一定过某点,则与b无关,令b的系数为0即可,则它的图象一定过点(1,1).故选D.课堂考点探究2.[2017·烟台]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-5所示,对称轴是直线x=1,下列结论:①ab0;②b24ac;③a+b+2c0;④3a+c0.其中正确的是()A.①④B.②④C.①②③D.①②③④[答案]C[解析]∵抛物线开口向上,∴a0,∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴b0,∴ab0,∴①正确;∵抛物线与x轴有2个交点,∴Δ=b2-4ac0,∴②正确;∵x=1时,y0,∴a+b+c0,而c0,∴a+b+2c0,∴③正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a,而x=-1时,y0,即a-b+c0,∴a+2a+c0,∴④不正确.图14-5课堂考点探究探究四二次函数的图象与性质的综合运用例4如图14-6,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解为.(2)求抛物线的函数解析式(用两种方法).(3)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.(4)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.(5)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.【命题角度】(1)利用二次函数图象的对称性求线段和的最值;(2)利用二次函数图象上的点的坐标特点,解决图形面积问题.图14-6x1=-1,x2=3.课堂考点探究例4如图14-6,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(2)求抛物线的函数解析式(用两种方法).图14-6(2)方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),又∵抛物线过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1,∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.方法二:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,∴𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=3,解得𝑎=-1,𝑏=2,𝑐=3,∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.课堂考点探究图14-6(3)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4),对称轴为直线x=1.例4如图14-6,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(3)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.例4如图14-6,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(4)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.课堂考点探究图14-6(4)如图,连接BC,交直线l于点P,则点P为使△PAC的周长最小的点,设直线BC的解析式为y=kx+n,将B(3,0),C(0,3)代入得3𝑘+𝑛=0,𝑛=3,解得𝑘=-1,𝑛=3,∴直线BC的解析式为y=-x+3,∵对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=2,即点P的坐标为(1,2).课堂考点探究例4如图14-6,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(5)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-6(5)∵点M在直线x=1上,∴设M(1,m),且A(-1,0),C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10,∵△MAC为等腰三角形,∴有MA=MC、MA=AC和MC=AC三种情况,①若MA=MC,则MA2=MC2,即m2+4=m2-6m+10,解得m=1,此时M点坐标为(1,1);②若MA=AC,则MA2=AC2,即m2+4=10,解得m=±6,此时M点坐标为(1,6)或(1,-6);③若MC=AC,则MC2=AC2,即m2-6m+10=10,解得m=0或m=6,当m=6时,M,A,C三点共线,构不成三角形(舍去),此时M点坐标为(1,0),综上可知存在符合条件的点M,其坐标为(1,1)或(1,6)或(1,-6)或(1,0).