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第13课时二次函数的图象及其性质(一)考点一二次函数的概念课前双基巩固考点聚焦一般地,形如(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.y=ax2+bx+c考点二二次函数的图象及画法课前双基巩固图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以①为顶点,以直线②为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象的步骤(1)用配方法化成③的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎x=-𝑏2𝑎y=a(x-h)2+k考点三二次函数的性质课前双基巩固函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向抛物线开口向上,并向上无限延伸抛物线开口向下,并向下无限延伸课前双基巩固对称轴直线x=-b2a直线x=-b2a顶点坐标-b2a,4ac-b24a-b2a,4ac-b24a增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而增大,简记左减右增在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而减小,简记左增右减课前双基巩固最值抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最小值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最大值,y最大值=4ac-b24a二次项系数a的特性𝑎的大小决定抛物线的开口大小:𝑎越大,抛物线的开口越小,𝑎越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P41习题22.1第7题]填空:(1)已知函数y=2(x+1)2+1,当x时,y随x的增大而减小,当x时,y随x的增大而增大;(2)已知函数y=-2x2+x-4,当x时,y随x的增大而增大,当x时,y随x的增大而减小.2.[九上P41习题22.1第6(1)题改编]抛物线y=-3x2+12x-3的开口向,对称轴是直线,顶点坐标是.[答案]1.(1)-1-1(2)14142.下x=2(2,9)课前双基巩固3.[九上P47习题22.2第4题改编]抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),这条抛物线的对称轴是直线.[答案]x=1[解析]方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),∴抛物线的解析式可设为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),∴抛物线的对称轴是直线x=1.方法二:∵抛物线关于其对称轴对称,且其对称轴x=h与x轴垂直,∴对称轴必过点(-1,0),(3,0)的对称中心,则h-(-1)=3-h,得h=-1+32=1.即抛物线的对称轴是直线x=1.课前双基巩固4.[九上P40练习第2题改编]一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,这个二次函数的解析式是.[答案]y=4x2+5x课前双基巩固题组二易错题【失分点】二次函数图象的顶点坐标公式中横坐标的符号选取记忆混乱;二次函数求最值忽视自变量取值范围对结果的影响.5.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,则h=,k=.6.在-2≤x≤4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.[答案]5.12[解析]y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,则h=1,k=2,故答案为:1;2.6.160课堂考点探究探究一二次函数的图象与性质解:(1)∵y=12x2+x-52=12(x2+2x)-52=12(x2+2x+1-1)-52=12(x2+2x+1)-12-52=12(x+1)2-3,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).例1已知抛物线y=12x2+x-52.(1)用配方法求抛物线的顶点坐标;(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(2)函数有最大值或最小值?求最大或最小值;(2)当x=-1时,y有最小值-3.(3)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,∴当x-1时,y随x的增大而减小.(4)令y=0,即12x2+x-52=0,解得x1=6-1,x2=-6-1,∴AB=26,易知C点坐标为0,-52,∴S△ABC=12×26×52=562.课堂考点探究[方法模型](1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法,②顶点公式法-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五点,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.课堂考点探究针对训练1.[2018·成都]关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3[答案]D课堂考点探究2.点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3y2y1B.y3y1=𝑦2C.y1y2y3D.y1=y2y3[答案]D课堂考点探究3.[2017·菏泽]一次函数y=ax+b和反比例函数y=𝑐𝑥在同一平面直角坐标系中的图象如图13-1所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()图13-2[答案]A[解析]根据题意即可得出a0、b0、c0,由此即可得出:二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,选项D不符合题意,对称轴x=-𝑏2𝑎0,选项B不符合题意,与y轴的交点在y轴负半轴,选项C不符合题意,只有选项A符合题意.图13-1课堂考点探究4.[2017·枣庄]已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,0)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a0,函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a0,则当x≥1时,y随x的增大而增大课堂考点探究[答案]D[解析]A.当a=1时,函数解析式为y=x2-2x-1,当x=-1时,y=1+2-1=2,∴当a=1时,函数图象经过点(-1,2),∴A选项不符合题意;B.当a=-2时,函数解析式为y=-2x2+4x-1,令y=-2x2+4x-1=0,则Δ=42-4×(-2)×(-1)=80,∴当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,∴B选项不符合题意;C.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a),当-1-a0时,有a-1,∴C选项不符合题意;D.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的对称轴为直线x=1.若a0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,∴D选项符合题意.故选D.课堂考点探究探究二求二次函数的解析式例2[2019·原创]根据下列条件求解析式.(1)抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,0),C1,92两点.试求抛物线的解析式;(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求二次函数解析式;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.(用两种方法)【命题角度】用待定系数法求二次函数的解析式(一般式,顶点式,交点式).解:(1)由题意得4𝑎-2𝑏+2=0,𝑎+𝑏+2=92,解得𝑎=12,𝑏=2,∴抛物线解析式为y=12x2+2x+2.例2[2019·原创]根据下列条件求解析式.(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求二次函数解析式;课堂考点探究(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0).∵二次函数的图象过点B(2,-5),∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.∴二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.(用两种方法)(3)方法一:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.方法二:由题意知𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=-3,解得𝑎=1,𝑏=-2,𝑐=-3,所以y=x2-2x-3.课堂考点探究[方法模型](1)当已知抛物线上三点坐标求二次函数的解析式时,一般采用一般式y=ax2+bx+c.(2)当已知抛物线的顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求二次函数的解析式时,一般采用顶点式y=a(x-h)2+k.(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时,一般采用交点式y=a(x-x1)(x-x2).课堂考点探究针对训练1.如图13-3,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.图13-3解:(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,∴Δ=4a2-4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,∴抛物线解析式为y=x2+2x+1;课堂考点探究1.如图13-3,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(2)求直线AB对应的函数解析式.图13-3(2)∵y=(x+1)2,∴顶点A的坐标为(-1,0),∵点C是线段AB的中点,即点A与点B关于C点对称,∴B点的横坐标为1,当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4),设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-1,0),B(1,4)代入得-𝑘+𝑏=0,𝑘+𝑏=4,解得𝑘=2,𝑏=2,∴直线AB的解析式为y=2x+2.课堂考点探究2.[2018·白银节选]如图13-4,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴交于点A,B(3,0),点P是直线BC上方抛物线上一动点.(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C,若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标.图13-4解:(1)∵y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),B(3,0),∴𝑐=3,9𝑎+2×3+𝑐=0,解得:𝑎=-1,𝑐=3,∴二次函数的解析式为:y=-x2+2x+3.课堂考点探究2.[2018·白银节选]如图13-4,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴交于点A,B(3,0),点P是直线BC上方抛物线上一动点.(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C,若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标.图13-4(2)∵四边形POP'C为菱形,∴PO=PC.∴点P在CO的垂直平分线上,而CO的中点坐标是0,32,∴点P的纵坐标是32,当y=32时,32=-x2+2x+3,解得:x=1±102,∵点P在直线BC上方,∴点P的坐标是:1+102,32.