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第12课时反比例函数考点一反比例函数的概念课前双基巩固考点聚焦一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数.自变量的取值范围是x≠0.解析式变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).y=𝑘𝑥考点二反比例函数的图象与性质课前双基巩固1.反比例函数的图象:反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象是①,且关于原点对称.2.反比例函数的性质:函数图象所在象限性质y=kx(k≠0)k0第一、三象限(x,y同号)在每个象限内,y随x的增大而②k0第二、四象限(x,y异号)在每个象限内,y随x的增大而③双曲线减小增大课前双基巩固3.反比例函数比例系数k的几何意义:过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律:过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线,一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数12|k|.4.拓展:图12-1图12-2图12-3图12-4考点三反比例函数的解析式及应用课前双基巩固求函数解析式的方法步骤利用待定系数法确定反比例函数的解析式:(1)根据两变量之间的反比例关系,设y=kx;(2)代入图象上一个点的坐标,即x,y的一对对应值,求出k的值;(3)写出解析式反比例函数与一次函数的图象交点的求法求直线y=k1x+b(k1≠0)和双曲线y=k2x的交点坐标,就是解这两个函数解析式组成的方程组反比例函数的应用应用反比例函数解决实际生活中成反比例的问题,经常与物理中的力学、电学等内容相结合,一般是列出函数解析式,在自变量的取值范围内用函数的增减性解决问题课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九下P8习题26.1第3(3)题]若点(1,3)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则k=,在图象的每一支上,y随x的增大而.2.[九下P22复习题26第10题改编]在同一直角坐标系中,若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象没有交点,则k1k2的取值范围是.[答案]1.3减小2.k1k20[解析]∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象没有公共点,∴k1与k2异号,即k1k20.课前双基巩固3.[九下P9习题26.1第5题改编]正比例函数y=x的图象与反比例函数y=𝑘𝑥的图象有一个交点的纵坐标是2.(1)当x=-3时,反比例函数y=𝑘𝑥的值为;(2)当-3x-1时,反比例函数y=𝑘𝑥的取值范围是.[答案](1)-43(2)-4y-43[解析](1)把纵坐标2代入y=x求出横坐标为2,即交点坐标为(2,2).把(2,2)代入y=𝑘𝑥,得k=4,故反比例函数的解析式为y=4𝑥,当x=-3时,代入得y=-43;(2)当x=-3时,y=-43,当x=-1时,y=-4.又知反比例函数y=4𝑥在-3x-1时,y随x的增大而减小,即当-3x-1时,-4y-43.课前双基巩固4.[九下P16习题26.2第6题改编]密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图12-5所示.(1)ρ与V之间的函数解析式是;(2)当V=9m3时,二氧化碳的密度ρ=kg/m3.[答案](1)ρ=9.9𝑉(V0)(2)1.1[解析](1)设ρ=𝑘𝑉,∵图象过点A(5,1.98),∴1.98=𝑘5,解得k=9.9,∴ρ与V之间的函数解析式为ρ=9.9𝑉(V0).(2)当V=9m3时,ρ=9.99=1.1(kg/m3).图12-5课前双基巩固题组二易错题【失分点】进行反比例函数值的大小比较时,应注意在不同象限内不能应用反比例函数的增减性比较.5.若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y=𝑘𝑥(k0)上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y3y1y2[答案]D[解析]如图,反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,而-2-103,∴y3y1y2.故选D.课前双基巩固6.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1k2≠0)的图象如图12-6所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1[答案]D[解析]观察函数图象可知,当x-2或0x1时,直线y1=k1x+b在双曲线y2=𝑘2𝑥的上方,即若y1y2,则x的取值范围是x-2或0x1.图12-6课堂考点探究探究一反比例函数的解析式【命题角度】(1)求反比例函数的解析式;(2)由解析式求点的坐标中的字母的值.[答案]C[解析]过点B作BC⊥OA于点C,∵点A的坐标是(2,0),∴AO=2.∵△ABO是等边三角形,∴OC=1,BC=3,∴点B的坐标是(1,3),把(1,3)代入y=𝑘𝑥,得k=3.故选C.例1如图12-7,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限,若反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点B,则k的值是()A.1B.2C.3D.23图12-7课堂考点探究针对训练若点A(-2,3)、B(m,-6)都在反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象上,则m的值是.[答案]1课堂考点探究探究二反比例函数的图象与性质例2若点A(-1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象上,则(填y1,y2,y3).[答案]y1y3y2[解析]方法一:由已知可得y1=𝑘-1=-k,y2=𝑘1=k,y3=𝑘2.∵k0,∴-k𝑘2k,即y1y3y2.方法二:反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.∵-10,∴点A(-1,y1)在第三象限,∴y10.∵10,20,∴点B(1,y2),C(2,y3)在第一象限,∵12,∴y2y3.∴y1y3y2.[答案]D[解析]A.∵k=-20,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确;B.k=-20,当x0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;C.把x=1代入y=-2𝑥中,得y=-21=-2,∴点(1,-2)在它的图象上,故本选项正确;D.点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在反比例函数y=-2𝑥的图象上,若x1x20或0x1x2,则y1y2,故本选项错误.故选:D.课堂考点探究针对训练1.[2018·衡阳]对于反比例函数y=-2𝑥,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2[答案]D[解析]观察函数图象可知,当x-2或0x1时,直线y1=k1x+b在双曲线y2=𝑘2𝑥上方,即若y1y2,则x的取值范围是x-2或0x1.课堂考点探究2.[2017·自贡]一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1k2≠0)的图象如图12-8所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1图12-8[答案]A[解析]由A,B中直线的位置,可知a0,b0,而当x=-1时,y=-a+b0,从而a-b0,反比例函数图象应该在第一、三象限,故选项B错误;由C,D中直线的位置,可知a0,b0,而当x=-1时,y=-a+b0,从而a-b0,反比例函数图象应该在第二、四象限,故选项C,D错误;故答案为A.课堂考点探究3.[2018·广州]一次函数y=ax+b和反比例函数y=𝑎-𝑏𝑥在同一直角坐标系中的大致图象是()图12-9[答案]-2y0[解析]当x=-1时,y=-2,因为x0时,y随x的增大而减小,图象位于第三象限,所以y的取值范围为-2y0.课堂考点探究4.[2017·眉山]已知反比例函数y=2𝑥,当x-1时,y的取值范围为.课堂考点探究探究三与反比例函数中k有关的问题【命题角度】(1)求相关图形的面积;(2)由图形的面积确定图象经过该图形上特殊点的反比例函数的解析式.例3(1)如图12-10,过反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则k的值为.[答案]4[解析]∵点A是反比例函数y=𝑘𝑥图象上一点,且AB⊥x轴于点B,∴S△AOB=12|k|=2,解得k=±4.∵反比例函数在第一象限有图象,∴k=4.图12-10课堂考点探究例3(2)如图12-11,A是反比例函数y=𝑘𝑥(x0)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C.若矩形ABOC的面积为5,则k的值为.[答案]5[解析]∵AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足为C,∴矩形ABOC的面积=|k|,即|k|=5,而k0,∴k=5.图12-11课堂考点探究例3(3)如图12-12,A,B是双曲线y=6𝑥上的两点,分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为.图12-12[答案]8[解析]由A,B为双曲线上的两点,利用比例系数k的几何意义,求出矩形ACOG与矩形BEOF的面积,又已知阴影部分矩形DGOF的面积,故可求出两个空白矩形的面积之和.∵点A,B是双曲线y=6𝑥上的点,∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6.∵S矩形DGOF=2,∴S矩形ACFD+S矩形BDGE=6+6-2-2=8.[答案]C[解析]过D作DN⊥x轴于N,则有S矩形ONDC=4,∵H为AB中点,∴S△ACD=S△BCD=12S矩形ONDC=2,∴S四边形ACBD=4.课堂考点探究针对训练1.[2017·衢州]如图12-13,在直角坐标系中,点A在函数y=4𝑥(x0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y=4𝑥(x0)的图象交于点D.连接AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD的面积等于()图12-13A.2B.23C.4D.43[答案]A[解析]设点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),点C的坐标为(xC,0).过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.∵AB=xA-xB,CD=yD-yC=yA,∴S△ABC=12AB·CD=12(xA-xB)yA=12(xAyA-xByB)=12(|k1|-|k2|)=12(k1-k2),即4=12(k1-k2),∴k1-k2=8.课堂考点探究针对训练2.[2018·宁波]如图12-14,平行于x轴的直线与函数y=𝑘1𝑥(k10,x0),y=𝑘2𝑥(k20,x0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为()图12-14A.8B.-8C.4D.-4课堂考点探究探究四反比例函数的应用【命题角度】(1)反比例函数在物理学及实际生活中的应用;(2)反比例函数与一次函数的综合运用.课堂考点探究例4如图12-15,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(1)m=,n=,并求一次函数和反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;(3)求△AOB的面积;(4)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;(5)当y1y2时,请直接写出x的取值范围:.图12-15解:(1)∵B(2,-4)在反比例函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴m=-8.∴反比例函数的解析式为y2=-8𝑥.∵点A(-4,n)在反比例函数y2=-8𝑥的图象上,∴n=2.∴A(-4,2).∵直线y1=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4)