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第11课时一次函数的应用考点一一次函数的应用课前双基巩固考点聚焦利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.考点二方案决策问题课前双基巩固1.“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下,如何选择其中最科学、最合理、最能符合题目要求的方案.2.通过实际问题列出一次函数关系式,然后根据一次函数的性质解决问题,往往同时考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用,注意分清函数、方程、不等式的异同.课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八下P108复习题19第8题改编]匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图11-1所示(图中OABC为一折线),则图A对应图,图B对应图,图C对应图.图11-1[答案](3)(1)(2)课前双基巩固2.[八下P98练习改编]考虑下面两种移动电话计费方式:方式一方式二月租费/(元/月)300本地通话费/(元/min)0.300.40用函数方法解答当一个月通话分钟时两种计费方式费用相等.[答案]300[解析]设一个月通话时间为x分钟,按方式一要收费(30+0.3x)元,按方式二要收费0.4x元.如果两种计费方式费用相等,则0.4x=30+0.3x,解得x=300.所以当一个月通话300分钟时两种计费方式费用相等.课前双基巩固3.[八下P109复习题19第13题改编]一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,在随后的8min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图11-2所示.(1)当0≤x≤4时,y关于x的函数解析式是;(2)当4x≤12时,y关于x的函数解析式是;(3)每分钟进水L,出水L.[答案](1)y=5x(2)y=54x+15(3)5154图11-2课前双基巩固题组二易错题【失分点】遇到实际问题时缺乏建立函数模型分析解决问题的意识;思维不严密易忽略分类讨论.4.[2018·邵阳]小明参加100m短跑训练,2018年1~4月的训练成绩如下表所示:月份1234成绩(s)15.615.415.215体育老师夸奖小明是“田径天才”,请你预测小明5年(60个月)后100m短跑的成绩为()(温馨提示:目前100m短跑世界纪录为9秒58)A.14.8sB.3.8sC.3sD.预测结果不可靠D课前双基巩固5.已知点A(4,-3),B(x,-3),若AB∥x轴,且线段AB的长为5,则x=.-1或9课堂考点探究探究一利用一次函数进行方案选择【命题角度】(1)求一次函数的解析式,利用一次函数的性质进行方案选择;(2)先求一次函数的解析式,再根据自变量取值范围中的整数解进行方案设计.课堂考点探究例1[2017·衢州]五一期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.根据图11-3中的信息,解答下列问题:(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式;解:(1)由题意可知y1=k1x+80,且图象过点(1,95),则有95=k1+80,∴k1=15,∴y1=15x+80(x≥0),由题意知y2=30x(x≥0).图11-3(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.(2)当y1=y2时,解得x=163;当y1y2时,解得x163;当y1y2时,解得x163.∴当租车时间为163小时时,选择甲、乙公司一样合算;当租车时间小于163小时时,选择乙公司合算;当租车时间大于163小时时,选择甲公司合算.课堂考点探究[方法模型]一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得到不同的方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.课堂考点探究针对训练现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.(1)请分别写出甲乙两家快递公司快递物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式;(2)小明应选择哪家快递公司更省钱?解:(1)由题意知:当0x≤1时,y甲=22x;当x1时,y甲=22+15(x-1)=15x+7.y乙=16x+3.现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.(2)小明应选择哪家快递公司更省钱?课堂考点探究(2)若0x≤1,当22x16x+3时,x12;当22x=16x+3时,x=12;当22x16x+3时,x12;若x1,当15x+716x+3时,解得x4;当15x+7=16x+3时,解得x=4;当15x+716x+3时,解得x4,因此,当快递物品少于12千克或者多于4千克时,选择甲公司省钱;当快递物品等于12千克或者4千克时,选择甲乙两家公司一样;当快递物品多于12千克且少于4千克时,选择乙公司省钱.课堂考点探究探究二利用一次函数解决分段函数问题例2为增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练,有一次女子800米耐力测试中,小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑,同时到达终点.所跑的路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图11-4所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒.图11-4课堂考点探究[答案]120[解析]如图,设直线OA的解析式为s=kt,代入(200,800)得800=200k,解得k=4,故直线OA的解析式为s=4t,设BC的解析式为s1=k1t+b,由题意,得360=60𝑘1+𝑏,540=150𝑘1+𝑏,解得𝑘1=2,𝑏=240,∴BC的解析式为s1=2t+240,当s=s1时,4t=2t+240,解得:t=120.则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒.[方法模型](1)寻找分段函数的分界点;(2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;(3)利用条件解决未知问题.1.[2017·绍兴]某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准,该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图11-5所示.(1)若某月用水量为18立方米,则应交水费多少元?(2)求当x18时,y关于x的函数表达式,若小敏家某月交水费81元,则这个月用水量为多少立方米?解:(1)由图象看出,某月用水量为18立方米,则应交水费45元.课堂考点探究针对训练图11-5(2)设函数解析式为y=kx+b(x18).∵直线经过点(18,45),(28,75),∴18𝑘+𝑏=45,28𝑘+𝑏=75,解得𝑘=3,𝑏=-9,∴函数解析式为y=3x-9(x18).由81元45元,得用水量超过18立方米,∴当y=81时,3x-9=81,解得x=30,答:这个月用水量为30立方米.解:(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,代入点(0,10)和14,152的坐标,得14𝑘+𝑏=152,𝑏=10,解得:𝑘=-10,𝑏=10.故直线PQ的解析式为y=-10x+10.当y=0时,x=1,故点Q的坐标为(1,0),该点表示甲、乙两人经过1小时相遇.课堂考点探究2.[2018·临沂]甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达B地后,乙继续前行.设出发xh后,两人相距ykm,图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系.根据图中信息,求:(1)点Q的坐标,并说明它的实际意义;图11-6(2)甲、乙两人的速度.(2)由点M的横坐标可知甲经过53h到达B地,故甲的速度为:10÷53=6(km/h);设乙的速度为akm/h,由两人经过1小时相遇,得:1×(a+6)=10,解得:a=4,故乙的速度为4km/h.课堂考点探究探究三利用一次函数增减性解决最值应用问题【命题角度】由待定系数法求一次函数的解析式.例3[2018·湖州]“绿水青山就是金山银山”,为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:路程(千米)甲仓库乙仓库A果园1525B果园2020课前双基巩固设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,已知汽车每吨每千米的运费为2元.(1)根据题意,填写下表.运量(吨)运费(元)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110-x2×15x2×25(110-x)B果园(2)设总运费为y元,求y关于x的函数表达式,并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省?最省的总运费是多少元?课前双基巩固解:(1)运量(吨)运费(元)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110-x2×15x2×25(110-x)B果园80-xx-102×20(80-x)2×20(x-10)课前双基巩固设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,已知汽车每吨每千米的运费为2元.(2)设总运费为y元,求y关于x的函数表达式,并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省?最省的总运费是多少元?例3[2018·湖州]“绿水青山就是金山银山”,为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:路程(千米)甲仓库乙仓库A果园1525B果园2020课前双基巩固(2)y=2×15x+2×25(110-x)+2×20(80-x)+2×20(x-10),即y=-20x+8300.由题知𝑥≥0,110-𝑥≥0,80-𝑥≥0,𝑥-10≥0,解得10≤x≤80.在一次函数y=-20x+8300中,∵-200,10≤x≤80,∴当x=80时,y最小=6700.即当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时,总运费最省,是6700元.