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第29课时与圆有关的计算考点一正多边形和圆课前双基巩固考点聚焦正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆正多边形和圆的有关概念一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的①正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的②正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的③正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的④中心半径中心角边心距课前双基巩固正多边形的有关计算(1)边长:an=2Rn·sin180°𝑛(2)周长:Pn=n·an(3)边心距:rn=Rn·cos180°𝑛(4)面积:Sn=12an·rn·n(5)每一个内角的度数为(𝑛-2)×180°𝑛(6)每一个外角的度数为360°𝑛(7)中心角的度数为360°𝑛考点二弧长公式课前双基巩固圆的周长若圆的半径是R,则圆的周长C=①弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长l=②.在应用公式时,n和180不再写单位2πR𝑛π𝑅180考点三扇形的面积公式课前双基巩固扇形的面积(1)S扇形=𝑛π𝑅2360(n是圆心角度数,R是半径);(2)S扇形=12lR(l是弧长,R是半径)弓形的面积S弓形=S扇形±S△考点四圆锥的侧面积与全面积课前双基巩固图形圆锥简介(1)h是圆锥的高;(2)a是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的①;(3)r是底面圆半径;(4)圆锥的侧面展开图是半径等于②长,弧长等于圆锥底面③的扇形圆锥的侧面积S侧=④圆锥的全面积S全=S侧+S底=πra+πr2半径母线周长πra课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P108习题24.3第5题改编]如图29-1,要拧开一个边长a=12mm的六角形螺帽,扳手张开的开口b至少为mm.图29-1[答案]123[解析]如图,设正多边形的中心是点O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形.∵AB=12mm,∠ABO=60°,∴sin∠ABO=𝐴𝑀𝐴𝐵,∴AM=12×32=63(mm),∴AC=2AM=123(mm).课前双基巩固2.[九上P115习题24.4第1题]填空:(1)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,则此弧所在圆的半径是cm;(2)一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm2,则扇形的圆心角是;(3)用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为.[答案](1)6(2)150°(3)43课前双基巩固3.[九上P115习题24.4第4题改编]如图29-2,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,图中阴影部分的面积为.图29-2[答案]π-22a2[解析]图中四个半圆都通过正方形的中心,用正方形的面积减去四个空白部分的面积,剩下的就是阴影部分的面积,而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空白部分的面积,所以所求阴影部分的面积为a2-a2-π·𝑎22×2=π2a2-a2=π-22a2.课前双基巩固4.[九上P114练习第1题改编]圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,它的侧面展开图的圆心角是,圆锥的全面积是.5.[九上P124复习题24第10题改编]往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图29-3所示.若油面宽AB=600mm,则油的最大深度是mm.图29-3[答案]4.160°5200πcm25.200课前双基巩固题组二易错题6.如图29-4,已知圆内接正三角形的面积为3,则该圆的内接正六边形的边心距是()图29-4A.2B.1C.3D.32【失分点】正多边形与圆的关系模糊;记混弧长公式与扇形面积公式,未能弄清圆锥侧面展开图的面积、弧长与圆锥的关系.[答案]B课前双基巩固7.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积是()A.20πcm2B.20cm2C.40πcm2D.40cm2[答案]A课堂考点探究探究一正多边形和圆例1[2019·原创]已知正六边形的半径为23,则这个正六边形的边长为,边心距为,面积为,中心角的度数为.【命题角度】(1)正多边形和圆有关概念的正误判断;(2)正多边形的有关计算:求正多边形边长或半径或边心距,求正多边形中的相关角度.[答案]23318360°[解析]如图,在Rt△AOG中,OA=AB=23,∠AOG=30°,∴OG=OA·cos30°=23×32=3,面积为6×12×AB×OG=6×12×23×3=183,中心角为60°.[方法模型](1)正n边形的半径R、边心距r和边长的一半构成直角三角形.在正n边形中,共有2n个这样的直角三角形;(2)在正n边形中,构造直角三角形或特殊的三角形是常用方法.课堂考点探究针对训练1.[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是()A.22B.32C.2D.3[答案]A[解析]如图①,∵OC=2,∴OD=2×sin30°=1;如图②,∵OB=2,∴OE=2×sin45°=2;如图③,∵OA=2,∴OF=2×cos30°=3,则该三角形的三边长分别为:1,2,3.∵12+(2)2=(3)2,∴该三角形是直角三角形,∴该三角形的面积是12×1×2=22,故选A.课堂考点探究2.刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=.(结果保留根号)[答案]23[解析]如图:根据题意可知OH=1,∠BOC=60°,∴△OBC为等边三角形,∴𝐵𝐻𝑂𝐻=tan∠BOH,∴BH=33,∴S=12×33×1×12=23,故答案为23.课堂考点探究探究二计算弧长例2(1)在半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为cm;(2)已知扇形的圆心角为150°,它所对的弧长为20πcm,则此扇形的半径是cm.[答案](1)4π(2)24[解析](1)半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为:120π×6180=4π(cm).(2)设扇形的半径是Rcm,则150π𝑅180=20π,解得R=24.【命题角度】(1)利用弧长公式,已知半径、圆心角、弧长三个量中的两个,求第三个量;(2)求旋转过程中已知点经过的路径长.课堂考点探究针对训练1.[2018·淄博]如图29-5,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为()图29-5A.2πB.8π3C.3π4D.4π3[答案]D[解析]连接OC,∵∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴𝐴𝐶的长=80×3×π180=4π3,故选D.课堂考点探究2.[2018·盐城]如图29-6,图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分.图②中,图形的相关数据:半径OA=2cm,∠AOB=120°.则图②的周长为cm(结果保留π).图29-6[答案]8π3[解析]∵半径OA=2cm,∠AOB=120°,∴𝐴𝐵的长=120·π·2180=4π3,𝐴𝑂的长+𝑂𝐵的长=4π3,∴题图②的周长=4π3+4π3=8π3(cm).课堂考点探究探究三计算扇形面积例3已知扇形的半径为3cm,弧长是2πcm,则此扇形的圆心角等于度,扇形的面积是.(结果保留π)[答案]1203πcm2[解析]设扇形的圆心角为n,则𝑛π·3180°=2π,解得n=120°,扇形的面积=120×π×32360=3π(cm2).【命题角度】(1)根据扇形面积公式,已知圆心角、半径、面积三个量中的两个,求第三个量;(2)根据扇形面积公式,已知弧长、半径、面积三个量中的两个,求第三个量.课堂考点探究针对训练1.[2018·成都]如图29-7,在▱ABCD中,∠B=60°,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是()图29-7A.πB.2πC.3πD.6π[答案]C[解析]∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,∵∠B=60°,∴∠C=120°,∴阴影部分的面积=120π×32360=3π.故选择C.课堂考点探究2.一个扇形的圆心角是120°,面积为3πcm2,那么这个扇形的半径是()A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm[答案]B[解析]设扇形的半径为Rcm,由题意:3π=120π·𝑅2360,解得R=±3,∵R0,∴R=3cm,∴这个扇形的半径为3cm.故选B.课堂考点探究探究四和圆锥的侧面展开图有关的问题【命题角度】(1)圆锥的母线长、底面半径等相关计算;(2)圆锥的侧面展开图的相关计算.例4(1)已知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则圆锥的侧面积为;(2)将一个圆心角为120°,半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为;(3)如果圆锥的底面周长是20π,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°,则其侧面积为(结果用含π的式子表示).[答案](1)8π(2)2cm(3)300π[解析](1)圆锥的侧面积为π×4×2=8π.(2)设此圆锥的底面半径为rcm,由题意,得2πr=120π×6180,解得r=2(cm).(3)设侧面展开所得扇形的半径为R,20π=120π·𝑅180,∴R=30,∴S圆锥侧=12×20π×30=300π.课堂考点探究针对训练1.[2018·遂宁]已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°,则扇形的面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π[答案]C课堂考点探究2.[2017·南充]如图29-8,在Rt△ABC中,AC=5cm,BC=12cm,∠ACB=90°,把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为()图29-8A.60πcm2B.65πcm2C.120πcm2D.130πcm2[答案]B[解析]AB=𝐵𝐶2+𝐴𝐶2=122+52=13(cm).这个几何体是圆锥,圆锥的底面半径AC=5cm,母线AB=13cm,圆锥的侧面积=πAC·AB=π×5×13=65π(cm2).故选B.课堂考点探究探究五求不规则图形的面积或分段计算弧长例5如图29-9,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',使点C'落在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为cm2.图29-9[答案]14π[解析]∵∠BOC=60°,△B'OC'是由△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,∴∠B'OC'=60°,△BCO≌△B'C'O,∴∠B'OC=60°,∠C'B'O=30°,∴∠B'OB=120°,∵AB=2cm,∴OB=1cm,OC'=12cm,∴B'C'=32cm,∴S扇形B'OB=120π×12360=13π(cm2),S扇形C'OC=120π×14360=π12(cm2),∴阴影部分面积=S扇形B'OB+S△B'C'O-S△BCO-S扇形C'OC=S扇形B'OB-S扇形C'OC=13π-π12=14π(cm2).【命题角度】(1)用分段的方法计算由弧组成的路径长;(2)用割补法计算与扇形有关的阴影部分的面积.课堂考点探究[方法模型]用转化思想求不规则图形的面积时,常转化为易解决的基本图形的面积问题,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.课堂考点探究针对训练1.[2018·广安]如图29-10,已知☉O的半径是2,点A,B,C在☉O上,若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分的面积为()图29-10A.23π-23B.23π-3C.43π-23D.43π-3课堂考点探究[答案]C[解析]如图所示.连接AC交OB于点D,∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥BD,AO=AB,AC=2AD,BO=2DO.∵AO=BO,∴AO=BO=AB,∴△ABO是等边三角形,则∠AOB=60°,同理∠BOC=60°,∴∠AOC=120°.∵AO=2