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第31课时平移与旋转考点一平移课前双基巩固考点聚焦定义把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动,叫做平移图形平移有两个基本条件(1)图形平移的方向;(2)图形平移的距离平移性质(1)对应线段平行(或共线)且①,对应点所连的线段②,图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离;(2)对应角分别③,且对应角的两边分别平行、方向一致;(3)平移变换后的图形与原图形④相等平行(或共线)且相等相等全等考点二旋转课前双基巩固定义把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做①,转动的角叫做②图形的旋转有三个基本条件(1)旋转中心;(2)旋转方向;(3)旋转角度旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离③;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于④;(3)旋转前后的图形⑤旋转中心旋转角相等旋转角全等课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P63习题23.1第9题改编]如图31-1,△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点B逆时针旋转90°,若BC=3,AC=4,点A旋转后的对应点为A',则A'A的长为.图31-1[答案]52课前双基巩固2.[九上P62习题23.1第4题]分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形.图31-2解:如图所示.课前双基巩固题组二易错题3.小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图31-3所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有()A.3个B.4个C.5个D.无数个【失分点】对平移特征认识不清,常常出现平移方向错误;旋转的性质运用不熟练.[答案]C图31-3课前双基巩固4.如图31-4,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是()图31-4A.55°B.60°C.65°D.70°[答案]C[解析]将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,则∠ECD=∠ACB=20°,∠ACE=90°,EC=AC,∴∠E=45°,∴∠ADC=65°.故选C.课前双基巩固5.如图31-5,点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为.图31-5[答案]90°课堂考点探究探究一图形的平移例1如图31-6,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是()A.16cmB.18cmC.20cmD.21cm[答案]C[解析]∵△ABE向右平移2cm得到△DCF,∴EF=AD=2cm,AE=DF,∵△ABE的周长为16cm,∴AB+BE+AE=16cm,∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16+2+2=20(cm).故选C.【命题角度】(1)判断平移后的图形或者说明图形的平移方法;(2)求平移后的图形有关线段的长度或角度.图31-6课前双基巩固[方法模型](1)平移前后对应点间的距离等于平移的距离;(2)“平移前后的两个图形全等”“平移前后对应线段平行(或共线)且相等”是解决平移问题的两个基本方法.课堂考点探究针对训练1.[2018·宜宾]如图31-7,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于()图31-7A.2B.3C.23D.32[答案]A课堂考点探究2.[2017·东营]如图31-8,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半,若BC=3,则△ABC移动的距离是()图31-8A.32B.33C.62D.3-62[答案]D[解析]∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置,∴AB∥DE,∴△ABC∽△HEC,∴𝑆△𝐻𝐸𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐸𝐶𝐵𝐶2=12,∴EC∶BC=1∶2,∵BC=3,∴EC=62,∴BE=BC-EC=3-62.课堂考点探究探究二图形的旋转例2已知△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(-1,2)、B(-2,1)、C(1,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度).(1)△A1B1C是由△ABC绕点逆时针旋转度得到的,B1的坐标是;解:(1)C90(1,-2)【命题角度】(1)判别旋转变换,求旋转中心和旋转角;(2)求旋转后图形的位置和点的坐标.图31-9(2)求出线段AC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).(2)线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心,AC为半径的扇形的面积.∵AC=22+12=5,∴面积为:90·π·(5)2360=5π4,即线段AC旋转过程中所扫过的面积为5π4.课堂考点探究[方法模型](1)求旋转角时,只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可;(2)旋转不改变图形的大小,旋转前后的两个图形全等.课堂考点探究针对训练1.[2017·菏泽]如图31-10,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A'B'C,连接AA',若∠1=25°,则∠BAA'的度数是()图31-10A.55°B.60°C.65°D.70°[答案]C[解析]根据旋转的性质可得AC=A'C,因为△ACA'是等腰直角三角形,所以∠CAA'=∠CA'A=45°,易得∠BAC=∠B'A'C=45°-25°=20°,所以∠BAA'=20°+45°=65°.课堂考点探究2.如图31-11,两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF=cm.图31-11[答案]23[解析]∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,∴DC=AC,∠D=∠CAB,∴∠D=∠DAC,∵∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,∴∠DAC=∠D=∠CAB=60°,∴∠DCA=60°,∴∠ACF=30°,可得∠AFC=90°,∵AB=8cm,∴AC=4cm,∴FC=4cos30°=23(cm).故答案为23.课堂考点探究3.如图31-12,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C,使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB'=度.图31-12[答案]46[解析]∵∠A=27°,∠B=40°,∴∠ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°,∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C,∴△ABC≌△A'B'C,∴∠ACB=∠A'CB',∴∠ACB-∠B'CA=∠A'CB'-∠B'CA,即∠BCB'=∠ACA',∴∠BCB'=67°,∴∠ACB'=180°-∠ACA'-∠BCB'=180°-67°-67°=46°,故答案为46.课堂考点探究4.[2018·潍坊]如图31-13,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.图31-13[答案]-1,33[解析]连接AM,在Rt△AB'M和Rt△ADM中,AB'=AD,AM=AM,∴Rt△AB'M≌Rt△ADM,∴∠DAM=∠B'AM=90°-30°2=30°,在Rt△ADM中,tan30°=𝐷𝑀𝐴𝐷,∴DM=ADtan30°=1×33=33.∴M-1,33.课堂考点探究探究三平移、旋转作图【命题角度】(1)平移或旋转作图;(2)平移、旋转的综合作图,并进行相关计算.例3[2018·安徽]如图31-14,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位.图31-14课堂考点探究例3[2018·安徽]如图31-14,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;图31-14解:(1)(2)如图所示.课堂考点探究例3[2018·安徽]如图31-14,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位.图31-1420课堂考点探究探究四平移、旋转与其他知识的综合运用例4如图31-15,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:∠CAE=∠BAD;(2)求证:△AEC≌△ADB;(3)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.图31-15解:(1)证明:由旋转的性质得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,∴AE=AD,∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.例4如图31-15,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(2)求证:△AEC≌△ADB;课堂考点探究(2)证明:在△AEC和△ADB中,𝐴𝐸=𝐴𝐷,∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷,𝐴𝐶=𝐴𝐵,∴△AEC≌△ADB(SAS).图31-15课堂考点探究(3)∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,∴∠DBA=∠BAC=45°,由(1)得:AB=AD,∴∠DBA=∠BDA=45°,∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形,∴BD2=2AB2,即BD=22,∵AD=DF=FC=AC=AB=2,∴BF=BD-DF=22-2.例4如图31-15,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(3)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.图31-15课堂考点探究针对训练1.[2018·温州]如图31-16,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.(1)在图①中画出一个面积最小的▱PAQB.图31-16解:(1)画法不唯一,如图①,图②.(2)在图②中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.(2)画法不唯一,如图③,图④.课堂考点探究2.[2018·自贡]如图31-17,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA,OB相交于点D,E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由.(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图②的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由.(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与射线OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图③中画出图形,若成立,请给予证明;若不成立,线段OD,OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.图31-17课堂考点探究解:(1)OE+OD=3OC,理由如下:∵CD⊥OA,易得CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90°.∵O