（全国）2019版中考数学复习 第六单元 圆 第28课时 直线与圆的位置关系课件

第28课时直线与圆的位置关系考点一直线和圆的位置关系课前双基巩固考点聚焦设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和☉O相交⇔dr直线l和☉O相切⇔①直线l和☉O相离⇔②d=rdr考点二切线的性质课前双基巩固1.定理:圆的切线于经过切点的半径.2.技巧:圆心与切点的连线是常用的辅助线.垂直考点三切线的判定课前双基巩固1.定理:经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线.2.证圆的切线的技巧(1)若直线与圆有公共点,则连接圆心与公共点得半径,证明直线与该半径垂直,即“有公共点,作半径,证垂直”;(2)若直线与圆没有明确的公共点,则过圆心作该直线的垂线段,证明垂线段等于半径,即“无公共点,作垂直,证半径”.垂直考点四切线长及切线长定理课前双基巩固切线长经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长①,这一点和圆心的连线②两条切线的夹角基本图形如图所示,点P是☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,AB交PO于点C,则有如下结论:(1)PA=PB;(2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP相等平分考点五三角形的内切圆课前双基巩固三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心是三角形的交点,叫做三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等规律清单☉I内切于△ABC,切点分别为D,E,F,如图,则:(1)∠BIC=90°+12∠A;(2)△ABC的三边长分别为a,b,c,☉I的半径为r,则有S△ABC=12r(a+b+c);(3)(选学)△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆半径r=𝑎+𝑏-𝑐2三条角平分线课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P96练习改编]圆的直径是13cm,如果圆心与直线的距离分别是:(1)4.5cm;(2)6.5cm;(3)8cm,那么直线和圆的位置关系分别是、、.[答案]相交相切相离课前双基巩固2.[九上P101习题24.2第6题改编]如图28-1,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=25°,则∠P的度数是.图28-1[答案]50°[解析]∵PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.∵∠BAC=25°,∠OAP=90°,∴∠PAB=90°-25°=65°,∴∠P=180°-65°-65°=50°.课前双基巩固3.[九上P102习题24.2第11题改编]如图28-2,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G三点,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm,则BC=cm.图28-2[答案]10[解析]∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G三点,∴∠CBO=12∠ABC,∠BCO=12∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠CBO+∠BCO=12∠ABC+12∠DCB=12(∠ABC+∠DCB)=90°,∴∠O=90°.在Rt△BOC中,由勾股定理,得BC=𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=62+82=10(cm).课前双基巩固4.[九上P98练习第1题]如图28-3,AB是☉O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT是☉O的切线.图28-3证明:∵AT=AB,∠ABT=45°,∴∠ATB=∠ABT=45°,∴∠BAT=180°-45°-45°=90°,即BA⊥AT.又∵AB是☉O的直径,∴AT是☉O的切线.课前双基巩固题组二易错题5.如图28-4,已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是()A.OP=5B.OE=OFC.O到直线EF的距离是4D.OP⊥EF【失分点】定义法判定直线和圆的位置关系和d,r比较法判定直线和圆的位置关系相互混淆;切线长定理掌握得一知半解,导致做题过程复杂.[答案]D图28-4课前双基巩固6.点P是圆O外一点,过点P作圆O的切线,切点分别为A和B,写出由切线长定理能够直接得到的结论:.[答案]AP=BP,∠APO=∠BPO课堂考点探究探究一直线和圆的位置关系的判定例1在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以2.5cm为半径画圆,则☉C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定【命题角度】(1)定义法判定直线和圆的位置关系;(2)d,r比较法判定直线和圆的位置关系;(3)由直线与圆的位置关系判断半径的取值范围或圆心到直线的距离的取值范围.[答案]A[解析]过C作CD⊥AB于D,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出dr,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.过程如下:过C作CD⊥AB于D,如图所示.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5.∵△ABC的面积=12AC×BC=12AB×CD,∴3×4=5CD,∴CD=2.42.5,即dr,∴以2.5cm为半径的☉C与直线AB的位置关系是相交.课堂考点探究探究二圆的切线的性质例2[2018·天水]如图28-5所示,AB是☉O的直径,点P是AB延长线上的一点,过点P作☉O的切线,切点为C,连接AC,BC.(1)求证:∠BAC=∠BCP.解:(1)证明:连接CO.∵PC是☉O的切线,∴PC⊥CO,即∠OCP=90°,∴∠PCB+∠BCO=90°,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∴∠ACO=∠PCB,∵AO=CO,∴∠ACO=∠CAO,∴∠PCB=∠CAO,即∠BAC=∠BCP.图28-5(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点D,你认为∠CDP的大小是否会发生变化?若变化,请说明理由;若没有变化,求出∠CDP的大小.(2)∠CDP的大小不发生变化,∵∠CDP=∠A+∠APD,∠BOC=2∠A,∠CPO=2∠APD,∠PCO=90°,∴∠CDP=12∠BOC+12∠CPO=12(∠BOC+∠CPO)=12×90°=45°.课堂考点探究针对训练1.[2018·连云港]如图28-6,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=°.图28-6[答案]44[解析]连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠AOB=136°,∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∴∠COB=46°,∵CB是☉O的切线,∴∠OBC=90°,∴∠OCB=90°-46°=44°,故答案为:44.课堂考点探究2.[2017·丽水]如图28-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(1)求证:∠A=∠ADE;(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.图28-7解:(1)证明:如图,连接OD,∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.∵OD=OB,∴∠DBO=∠BDO.∴∠ADE=∠A.课堂考点探究2.[2017·丽水]如图28-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.图28-7(2)连接CD,则∠ADC=∠BDC=90°.∵∠ADE=∠A,∴AE=DE.∵BC是☉O的直径,∠ACB=90°.∴EC是☉O的切线,∴DE=EC,∴AE=EC.∵DE=10,∴AC=2DE=20.在Rt△ADC中,DC=202-162=12.设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,∴BC=122+92=15.课堂考点探究探究三圆的切线的判定例3[2018·滨州]如图28-8,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.(1)求证:直线DC是☉O的切线;证明:(1)连接OC,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠OAC,由题意可知OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,又∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠OCD=∠ADC=90°,∴直线DC是☉O的切线.【命题角度】(1)判定圆的切线;(2)切线的判定与性质的综合计算或证明.图28-8(2)求证:AC2=2AD·AO.(2)连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,AB=2AO,∴∠ACB=∠ADC=90°,又∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,∴𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶,∴AC2=AD·AB,∴AC2=2AD·AO.课堂考点探究[方法模型]证某直线为圆的切线时,如果已知直线与圆有公共点,即可作出过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“作半径,证垂直”;如果不能确定某直线与已知圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径的长,即“作垂直,证半径”.课堂考点探究针对训练1.[2018·聊城]如图28-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,☉O是△BED的外接圆.(1)求证:AC是☉O的切线;图28-9(2)已知☉O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.解:(1)证明:如图所示,连接OE,∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE.∵BE平分∠ABC交AC于点E,∴∠CBE=∠OBE,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠OEA=∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是☉O的切线.课堂考点探究1.[2018·聊城]如图28-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,☉O是△BED的外接圆.图28-9(2)已知☉O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.(2)∵ED⊥EB,∠C=90°,∴∠BED=∠C=90°,由(1)知∠CBE=∠OBE,∴△BCE∽△BED,∴𝐵𝐶𝐵𝐸=𝐵𝐸𝐵𝐷.∵☉O的半径为2.5,BE=4,∴𝐵𝐶4=42×2.5,∴BC=165.∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴𝑂𝐸𝐵𝐶=𝐴𝑂𝐴𝐵,∵OE=2.5,BC=165,AO=AD+OD=AD+2.5,AB=AD+BD=AD+5,∴2.5165=𝐴𝐷+2.5𝐴𝐷+5,∴AD=457.课堂考点探究2.[2017·宜宾]如图28-10,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交☉O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E.(1)求证:直线CE是☉O的切线;(2)若BC=3,CD=32,求弦AD的长.图28-10解:(1)证明:连接OD,∵OA=OD,∴∠2=∠3.∵AD平分∠CAE,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AE∥OD,∴∠E=∠ODC.∵AE⊥EC,∴∠E=90°,∴∠ODC=90°,∴CE为☉O的切线.课堂考点探究(2)连接BD,在Rt△ODC中,∠ODC=90°,则OD2+DC2=OC2,设OD=x,∵CD=32,BC=3,∴(32)2+x2=(x+3)2,解得:x=32.∵OD∥AE,∴△ODC∽△AEC,∴𝑂𝐶𝐶𝐴=𝑂𝐷𝐴𝐸,即3+326=32𝐴𝐸,∴AE=2.∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADB=∠E.∵∠1=∠2,∴△EAD∽△DAB,∴𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐴𝐵,即2𝐴𝐷=𝐴𝐷3,∴AD=6.2.[2017·宜宾]如图28-10,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交☉O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E.(2)若BC=3,CD=32,求弦AD的长.图28-10课堂考点探究探究四切线长定理的运用【命题角度】(1)利用切线长定理进行计算;(2)利用切线长定理进行证明.例4(1)如图28-1