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第27课时圆的有关性质考点一点和圆的位置关系课前双基巩固考点聚焦如果圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么点在圆外⇔①点在圆上⇔②点在圆内⇔③drd=rdr考点二确定圆的条件课前双基巩固确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆三角形的外心三角形外接圆的圆心是三角形三条边的的交点,叫做这个三角形的外心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在直角三角形的斜边上,钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线考点三圆的对称性课前双基巩固圆既是轴对称图形,又是对称图形,圆还具有旋转不变性.中心考点四垂径定理及其推论课前双基巩固垂径定理垂直于弦的直径,并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧总结简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立平分弦考点五圆心角、弧、弦之间的关系课前双基巩固定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的①相等,所对的②也相等推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦考点六圆周角课前双基巩固圆周角定义顶点在圆上,并且两边都与圆相交,这样的角叫做圆周角圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①推论1同弧或等弧所对的圆周角②推论2半圆(或直径)所对的圆周角是③,90°的圆周角所对的弦是④一半相等直角直径考点七圆内接多边形课前双基巩固圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补课前双基巩固[拓展]正多边形和圆的关系(如图27-1):设正n边形的边长为a,则边心距r=𝑅2-(𝑎2)2,正n边形面积S=12nar,中心角θ=360°𝑛.图27-1考点八反证法课前双基巩固1.定义:不直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法.2.步骤:(1)假设命题的结论不正确,即提出与命题结论相反的假设;(2)从假设的结论出发,推出矛盾;(3)由矛盾的结果说明假设不成立,从而肯定原命题的结论正确.课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P89习题24.1第8题改编]如图27-2是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交☉O于点E,并且CD=4m,EM=6m,则☉O的半径为m.图27-2[答案]103[解析]∵M是☉O中弦CD的中点,根据垂径定理的推论,得EM⊥CD.又CD=4m,∴CM=12CD=2m.设圆的半径为xm,连接OC,在Rt△COM中,由勾股定理,得OC2=CM2+OM2,即x2=22+(6-x)2,解得x=103.课前双基巩固2.[九上P85练习第2题改编]如图27-3,AB是☉O的直径,𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸,∠COD=35°,则∠AOE的度数为.图27-3[答案]75°[解析]∵𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸,∠COD=35°,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°,∴∠EOB=105°.∵∠EOB+∠EOA=180°,∴∠AOE=75°.课前双基巩固3.[九上P90习题24.1第10题改编]☉O的半径为13cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB和CD之间的距离为.[答案]7cm或17cm[解析]过点O作OE⊥AB于点E,直线OE交CD于点F,连接OA,OC,如图.∵AB∥CD,∴OF⊥CD,∴AE=BE=12AB=12,CF=DF=12CD=5,在Rt△OAE中,∵OA=13,AE=12,∴OE=5,在Rt△OCF中,∵OC=13,CF=5,∴OF=12.当圆心O在弦AB与CD之间时,如图①,EF=OF+OE=12+5=17;当圆心O不在弦AB与CD之间时,如图②,EF=OF-OE=12-5=7.综上所述,AB和CD之间的距离为7cm或17cm.课前双基巩固4.[九上P90习题24.1第13题]如图27-4,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是𝐴𝐵的中点.求证:四边形OACB是菱形.图27-4证明:连接OC,∵C为𝐴𝐵的中点,∴𝐴𝐶=𝐵𝐶,∴∠AOC=∠BOC.∵∠AOC+∠BOC=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OB=OC,∴△OAC和△OCB都是等边三角形,∴OA=AC=CB=BO,∴四边形OACB是菱形.课前双基巩固题组二易错题5.下列说法中,错误的是()A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧【失分点】对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清;在角度计算或求线段长度时,如果图形不确定,需要分类讨论;不能运用垂径定理解决问题.[答案]B课堂考点探究探究一确定圆的条件【命题角度】(1)点和圆的位置关系与数量关系的互逆判断;(2)求三角形的外接圆的半径或确定三角形的外心.课堂考点探究例1在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分别是AB上的高和中线,如果圆A是以点A为圆心,半径长为2的圆,那么下列判断正确的是()A.点P,M均在圆A内B.点P,M均在圆A外C.点P在圆A内,点M在圆A外D.点P在圆A外,点M在圆A内[答案]C[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5,∵CP,CM分别是AB上的高和中线,∴12AB·CP=12AC·BC,AM=12AB=2.5,∴CP=125,∴AP=𝐴𝐶2-𝐶𝑃2=1.8,∵AP=1.82,AM=2.52,∴点P在圆A内,点M在圆A外.课堂考点探究针对训练1.[2017·枣庄]如图27-5,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()A.22r17B.17r32C.17r5D.5r29[答案]B[解析]给各点标上字母,如图所示.由勾股定理可得:AB=22+22=22,AC=AD=42+12=17,AE=32+32=32,AF=52+22=29,AG=AM=AN=42+32=5,∴17r32时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.图27-5课堂考点探究2.如图27-6,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是.图27-6[答案]3r5[解析]连接BD,在Rt△ABD中,AB=4,AD=3,则BD=32+42=5.由题意可知3r5.故答案为3r5.课堂考点探究探究二垂径定理及其推论【命题角度】(1)已知圆的半径(或直径)、弦、弦心距中的两个,求另一个;(2)证明弧相等或弦相等.例2如图27-7,(1)在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=;(2)在半径为5cm的☉O中,OC⊥AB于点C,OC=4cm,则弦AB=;(3)在☉O中,OC⊥AB于点C,OC=4cm,弦AB=8cm,则☉O的半径为;(4)在☉O中,OC⊥AB于点C,延长OC交劣弧于D,CD=1cm,弦AB=8cm,则☉O的半径为.图27-7[答案](1)4cm(2)6cm(3)42cm(4)172cm课堂考点探究[方法模型](1)垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一;(2)在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段,构造直角三角形求解.课堂考点探究针对训练1.[2017·金华]如图27-8,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为()图27-8A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm[答案]C[解析]如图,在Rt△OCB中,OC=5cm,OB=13cm,根据勾股定理,得BC=𝑂𝐵2-𝑂𝐶2=132-52=12(cm).∵OC⊥AB,∴AB=2BC=24cm.课堂考点探究2.[2018·嘉兴]如图27-9,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10cm,点D在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为cm.图27-9[答案]533[解析]连接OD,OC,OC与AD相交于点E,∵直尺一边与量角器相切于点C,∴OC⊥AD,∵AD=10,∠DOB=60°,∴AE=5,∠DAO=30°,∴OE=533,OA=1033,∴CE=OC-OE=OA-OE=533.课堂考点探究3.[2018·绍兴]如图27-10,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,从A到B只有路𝐴𝐵,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:3≈1.732,π取3.142)图27-10[答案]15[解析]作OC⊥AB于C,如图,则AC=BC,∵OA=OB,∴∠A=∠B=12(180°-∠AOB)=12(180°-120°)=30°,在Rt△AOC中,OC=12OA=10(米),AC=3OC=103(米),∴AB=2AC=203(米)≈69(步);而𝐴𝐵的长=120·π·20180=40π3(米)≈84(步),即𝐴𝐵的长比AB的长多15步.所以这些市民其实仅仅少走了15步.课堂考点探究探究三圆心角、弧、弦之间的关系例3如图27-11,AB是☉O的直径,𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸,∠COD=34°,则∠AEO的度数是()图27-11A.51°B.56°C.68°D.78°[答案]A[解析]∵𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,∴∠AEO=12×(180°-78°)=51°.故选A.[方法模型](1)在应用圆心角、弧、弦之间的关系定理时要注意“同圆或等圆”这一前提条件,没有该条件,结论不一定成立;(2)在同圆或等圆中,半径相等是一个重要的隐含条件.课堂考点探究探究四圆周角定理及推论【命题角度】(1)利用圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数;(2)利用直径所对的圆周角为90度得到直角三角形.例4[2018·杭州]如图27-12,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则∠DFA=.图27-12[答案]30°[解析]∵AB⊥DE,且C为OA中点,∴OC=AC=12DO,∴∠DOC=60°,∴∠DFA=30°.课堂考点探究[方法模型](1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了根据;(2)在圆上,如果有直径,则直径所对的圆周角是直角,常利用此结论构造直角三角形解题.课堂考点探究针对训练1.[2018·济宁]如图27-13,点B,C,D在☉O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是()图27-13A.50°B.60°C.80°D.100°[答案]D课堂考点探究2.[2018·陕西]如图27-14,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为()图27-14A.15°B.35°C.25°D.45°[答案]A[解析]∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=65°