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第7课时分式方程考点一分式方程的有关概念课前双基巩固1.分式方程:分母里含有①的方程叫做分式方程.2.增根:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,使方程中的分母为②,因此解分式方程要验根,其方法是把根代入最简公分母中看其是不是为③.考点聚焦未知数零零【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解,分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的解法课前双基巩固1.基本思想:把分式方程转化为整式方程,即分式方程整式方程.2.直接去分母法:方程两边同乘各分式的,约去分母,化为整式方程,再求根验根.3.将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则这个解不是原分式方程的解.最简公分母课前双基巩固考点三分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤与列其他方程解应用题的不同之处:要检验两次,既要检验求出来的解是否为原分式方程的解,又要检验是否符合题意.课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八上P152练习(1)(2)(3)改编](1)解方程12𝑥=2𝑥+3得;(2)解方程𝑥𝑥+1=2𝑥3𝑥+3+1得;(3)解方程2𝑥-1=4𝑥2-1得.[答案](1)x=1(2)x=-32(3)无解课前双基巩固2.[八上P159复习题15第8题改编]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.[答案]200[解析]设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x-50)台,依题意得600𝑥=450𝑥-50,解得x=200.检验:当x=200时,x(x-50)≠0.∴x=200是原分式方程的解且符合题意,∴现在平均每天生产200台机器.课前双基巩固3.[八上P154练习第1题改编]八年级学生去距学校10km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,则骑车学生的速度是km/h.[答案]15[解析]设骑车学生的速度是xkm/h,则汽车的速度是2xkm/h,由题意得10𝑥-102𝑥=13,解得x=15.经检验,x=15是所列方程的解,且符合实际意义,所以骑车学生的速度是15km/h.课前双基巩固4.[八上P155习题15.3第4题改编]A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等,A型机器人每小时搬运化工原料,B型机器人每小时搬运化工原料.[答案]90kg60kg[解析]设B型机器人每小时搬运xkg化工原料,则A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料.∵A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等,∴可列方程为900𝑥+30=600𝑥,解此分式方程得x=60,检验:当x=60时,x(x+30)≠0,且符合实际意义,所以x=60是分式方程的解.当x=60时,x+30=90.故A型机器人每小时搬运90kg化工原料,B型机器人每小时搬运60kg化工原料.课前双基巩固题组二易错题【失分点】解分式方程注意检验;分式方程增根的概念理解.5.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解6.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.[答案]5.D[解析]去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,此时(x-1)(x+2)=0,所以原方程无解.故选D.6.2[解析]方程两边同乘以(x-3),得:x-5=-m,x=5-m,若方程会产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3.解得m=2.课堂考点探究探究一分式方程的概念【命题角度】(1)已知分式方程的解,求方程中的未知系数;(2)已知分式方程有增根或无解,求方程中的未知系数.例1[2017·攀枝花]若关于x的分式方程7𝑥-1+3=𝑚𝑥𝑥-1无解,则实数m=.[答案]7或3[解析]将分式方程化为整式方程得7+3(x-1)=mx,整理得(m-3)x=4,∵分式方程无解分为整式方程无解和整式方程的解为分式方程的增根,∴当整式方程无解时,则m-3=0即m=3;当整式方程的解为增根时,则x=1,∴m-3=4即m=7.[方法模型]把分式方程化成整式方程后,求出整式方程的解,若代入分式方程的分母恰好等于0,则此解是分式方程的增根.课堂考点探究针对训练[2017·聊城]如果解关于x的分式方程𝑚𝑥-2-2𝑥2-𝑥=1时出现增根,那么m的值为()A.-2B.2C.4D.-4[答案]D[解析]分式方程出现增根的条件是:解去分母后化成的整式方程得到的解使原方程的分母等于0.去分母得,m+2x=x-2,解得,x=-2-m,当分母x-2=0即x=2时,方程出现增根,∴-2-m=2,∴m=-4时方程出现增根.课堂考点探究探究二分式方程的解法例2[2019·原创]解方程:𝑥2𝑥-3+53-2𝑥=4.解:去分母得x-5=4(2x-3),去括号得x-5=8x-12,移项得-7x=-7,∴x=1.经检验,原分式方程的解为x=1.[方法模型]解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘不含分母的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.课堂考点探究针对训练1.[2018·成都]分式方程𝑥+1𝑥+1𝑥-2=1的解是()A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3[答案]A[解析]𝑥+1𝑥+1𝑥-2=1,去分母,得(x-2)(x+1)+x=x(x-2),解得x=1,检验:把x=1代入x(x-2)得x(x-2)≠0,∴x=1是原方程的解.故选A.课堂考点探究2.解方程:1𝑥-2-3=𝑥-12-𝑥.解:方程两边同乘x-2,得1-3(x-2)=-(x-1),即1-3x+6=-x+1,则-2x=-6,得x=3.检验:当x=3时,x-2≠0.所以,原方程的解为x=3.课堂考点探究探究三分式方程的应用【命题角度】(1)行程问题或工程问题,轮船顺水、逆水问题;(2)产品加工问题,浓度问题;(3)营销问题,货物运输问题.课堂考点探究例3[2018·岳阳]为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除,回填土方和复绿施工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米?解:设原计划平均每天施工x平方米,则33000𝑥-330001.2𝑥=11,解得x=500,经检验,x=500是原分式方程的解,∴实际平均每天施工为500×(1+20%)=600(平方米).答:实际平均每天施工为600平方米.[方法模型]列分式方程解决实际问题时,需要验根两次,一是检验整式方程的解是否是原分式方程的解,二是检验是否符合实际问题的意义.课堂考点探究针对训练1.[2018·临沂]新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场,一汽贸公司经销某品牌新能源汽车,去年销售总额为5000万元.今年1-5月份,每辆车的销售价格比去年降低1万元,销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%.今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是()A.5000𝑥+1=5000(1-20%)𝑥B.5000𝑥+1=5000(1+20%)𝑥C.5000𝑥-1=5000(1-20%)𝑥D.5000𝑥-1=5000(1+20%)𝑥[答案]A[解析]去年一整年的销售数量用代数式5000𝑥+1表示,今年1-5月份的销售数量用代数式5000×(1-20%)𝑥表示,根据相等关系“今年1-5月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程5000𝑥+1=5000×(1-20%)𝑥,故选A.课堂考点探究2.[2017·黄冈]黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等.求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?解:设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意可列方程:12000𝑥+5=9000𝑥,解得:x=15.经检验:x=15是所列分式方程的解且符合题意.∴x+5=15+5=20.答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元.课堂考点探究3.[2018·泰州]为了改善生态环境,某乡村计划植树4000棵,由于志愿者的支援,实际工作效率提高了20%,结果比原计划提前3天完成,并且多植树80棵,原计划植树多少天?解:设原计划植树x天,则实际植树(x-3)天,根据题意,得4080𝑥-3=4000𝑥×(1+20%),解之得x=20,经检验,x=20是原方程的根且符合题意.答:原计划植树20天.课堂考点探究探究四解与分式方程特殊解有关的问题例4若关于x的分式方程2𝑥-𝑎𝑥-2=12的解为非负数,则a的取值范围是()A.a≥1B.a1C.a≥1且a≠4D.a1且a≠4[答案]C[解析]去分母得:2(2x-a)=x-2,解得x=2𝑎-23,由题意得2𝑎-23≥0且2𝑎-23≠2,解得a≥1且a≠4.【命题角度】已知分式方程解的范围或者特殊解,求方程中未知系数的取值范围.课堂考点探究针对训练[2017·重庆A卷]若数a使关于x的分式方程2𝑥-1+𝑎1-𝑥=4的解为正数,且使关于y的不等式组𝑦+23-𝑦21,2𝑦-𝑎≤0的解集为y-2,则符合条件的所有整数a的和为()A.10B.12C.14D.16课堂考点探究[答案]A[解析]①解关于x的分式方程,由它的解为正数,求得a的取值范围.2𝑥-1+𝑎1-𝑥=4,去分母,得:2-a=4(x-1),去括号,移项,得:4x=6-a,系数化为1,得:x=6-𝑎4.∵x0且x≠1,∴6-𝑎40,且6-𝑎4≠1,解得a6且a≠2;②通过求解关于y的不等式组,判断出a的取值范围.𝑦+23-𝑦21①,2(𝑦-𝑎)≤0②,解不等式①,得y-2,解不等式②,得y≤a,∵不等式组的解集为y-2,∴a≥-2;③由a6且a≠2和a≥-2,可推断出a的取值范围:-2≤a6,且a≠2,符合条件的所有整数a为-2,-1,0,1,3,4,5,这些整数的和为10,故选A.