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第6课时一元二次方程考点一一元二次方程的概念及一般形式课前双基巩固含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.一般形式:.考点聚焦ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)[注意]在一元二次方程的一般形式中要强调a≠0.考点二一元二次方程的四种解法课前双基巩固直接开平方法适合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab=0的形式,得a=0或b=0方法规律常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式课前双基巩固公式法求根公式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,x1,2=①公式法解方程的一般步骤(1)将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;(2)确定a,b,c的值;(3)若b2-4ac②0,则代入求根公式,得x1,x2;若b2-4ac③0,则方程无实数根-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎≥课前双基巩固配方法定义通过配成完全平方形式来解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1;②把常数项移到方程的另一边;③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把方程整理成(x+a)2=b的形式;⑤运用直接开平方法解方程课前双基巩固考点三一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,也把它记作Δ=b2-4ac判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有①的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有②的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程③实数根两个不相等两个相等没有课前双基巩固考点四一元二次方程的根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=①,x1x2=②.-𝑏𝑎𝑐𝑎课前双基巩固考点五一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,a(1-m)n=b利率问题(1)本息和=本金+利息;(2)利息=本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润=售出价-进货价;(2)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(3)利润率=利润÷进货价课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[九上P9练习第1题]填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2;(3)x2+5x+=(x+)2;(4)x2-23x+=(x-)2.[答案](1)255(2)366(3)25452(4)1913课前双基巩固2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是;(2)方程3x2+6x-4=0的解是;(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是.[答案](1)x1=-3,x2=-7(2)x1=-3+213,x2=-3+213(3)x1=-1,x2=1课前双基巩固3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有个队参加比赛.4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是.[答案]3.10[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.4.10%[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.课前双基巩固5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=,x1x2=;(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=,x1x2=;(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=,x1x2=;(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=,x1x2=.[答案](1)5-10(2)-7212(3)23-2(4)4-7课前双基巩固题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,因为这个式子可能是0,出现漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.6.关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≥0B.k≤0C.k0且k≠-1D.k≤0且k≠-17.—元二次方程x2-x=0的根是.[答案]6.D[解析]Δ=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0,又∵k+1≠0,即k≠-1,∴k≤0且k≠-1.故选D.7.x1=0,x2=1[解析]x2-x=0,x(x-1)=0.∴x=0或x=1故答案为x1=0,x2=1.课堂考点探究探究一一元二次方程的有关概念【命题角度】(1)识别一元二次方程;(2)已知一元二次方程的一个根,求另一个根或未知系数的值.例1[2018·盐城]已知一元二次方程x2+kx-3=0有一根为1,则k的值为()A.-2B.2C.-4D.4[答案]B[解析]把x=1代入一元二次方程,得12+k-3=0,解得k=2.故选B.[方法模型](1)在求方程中未知系数的值时注意整体思想的运用.(2)求出字母的值后,如果二次项系数含有字母,要检验二次项系数是否为0.课堂考点探究针对训练1.[2018·凉山州]若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,则m+n的值是()A.1B.2C.-1D.-2[答案]D[解析]∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,∴n2+mn+2n=0,∴n(m+n+2)=0,∵n≠0,∴m+n+2=0,∴m+n=-2.故选D.课堂考点探究2.[2019·原创]关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,求出a的值和方程的另一个根.解:∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,∴a2-1=0,且a-1≠0,∴a+1=0,解得a=-1.则一元二次方程为-2x2+x=0,即x(1-2x)=0,解得x1=0,x2=12,即方程的另一个根是12.综上所述,a的值是-1,方程的另一个根是12.课堂考点探究探究二一元二次方程的解法例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:【命题角度】灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.因此原方程的根为x1=3,x2=9.课堂考点探究例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:解:(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,x1=3,x2=9.[方法模型]解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如𝑥+𝑚2=n𝑛≥0的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.(3)因式分解法:(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.课堂考点探究针对训练1.解方程:3x(x-2)=2(2-x).解:3x(x-2)=2(2-x),(3x+2)(x-2)=0,x1=-23,x2=2.课堂考点探究2.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为x2+𝑏𝑎x=-𝑐𝑎,……第一步x2+𝑏𝑎x+𝑏2𝑎2=-𝑐𝑎+𝑏2𝑎2,……第二步x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,……第三步x+𝑏2𝑎=𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎(b2-4ac0),……第四步x=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎.……第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.解:(1)四x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎课堂考点探究(2)方程x2-2x-24=0变形,得x2-2x=24,x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x-1=±5,x=1±5,所以x1=-4,x2=6.2.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为x2+𝑏𝑎x=-𝑐𝑎,……第一步x2+𝑏𝑎x+𝑏2𝑎2=-𝑐𝑎+𝑏2𝑎2,……第二步x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,……第三步x+𝑏2𝑎=𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎(b2-4ac0),……第四步x=-𝑏+𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎.……第五步(2)用配方法解方程x2-2x-24=0.课堂考点探究探究三一元二次方程根的判别式【命题角度】(1)由根的判别式直接判断一元二次方程根的情况;(2)由一元二次方程根的情况得到不等式,求有关字母的取值范围.课堂考点探究例3[2019·原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18且m≠1.课堂考点探究例3[2019·原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,m-1≠0,∴m=-18,原方程可变形为-98x2-34x-18=0,解得x1=x2=-13.课堂考点探究例3[2019·原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根.(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,m-1≠0,∴m-18.[方法模型]对于一元二次方程,(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”判断根的情况.课堂考点探究针对训练1.[2018·成都]若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.解:由题意可知,Δ=[-(2a+1)]2-4×1×a2=(2a+1)2-4a2=4a+1.∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ0,即4a+10,解得a-14.课堂考点探究2.[2018·北京]关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;解:(1)∵b=a+2,∴Δ=b2-4×a×1=(a+2)2-4a=a2+40.∴原方程有两个不相等的实数根.(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.(2)答案不唯一,如当a=1,b=2时,原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.课堂考点探究探究四一元二次方程根与系数的关系(选讲)例4[2019·原创]设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值.(1)(x1