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第5课时一次方程(组)考点一等式的概念及其性质课前双基巩固等式的概念表示相等关系的式子,叫做等式等式的性质性质1如果a=b,那么a±c=b±c性质2如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么ac=bc(c≠0)考点聚焦考点二方程的有关概念课前双基巩固1.方程的概念:含有未知数的叫做方程.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.解方程:求方程解的过程叫做解方程.等式课前双基巩固考点三一元一次方程的解法1.一元一次方程的一般形式是.2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.ax+b=0(a,b为常数,a≠0)课前双基巩固考点四二元一次方程(组)的有关概念1.二元一次方程:含有①个未知数,并且含有未知数的项的次数都是②的整式方程.2.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组:方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.4.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.两1[注意]二元一次方程组的解应写成𝑥=𝑎,𝑦=𝑏的形式.课前双基巩固考点五二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法有:代入法、加减法.二元一次方程组一元一次方程.课前双基巩固考点六一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审清题意,分清题中的已知量、未知量(2)设未知数,设其中某个未知量为x,并注意单位.对于含有两个未知量的问题,需要设两个未知数(3)根据题意寻找等量关系列方程(组)(4)解方程(组)(5)检验,写出答案课前双基巩固考点七常见的几种方程应用类型及等量关系行程问题基本量之间的关系路程=速度×时间相遇问题全路程=甲走的路程+乙走的路程追及问题若甲为快者,则被追路程=甲走的路程-乙走的路程课前双基巩固工程问题基本量之间的关系工作效率=工作总量工作时间其他常用关系量(1)甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率;(2)通常把工作总量看作“1”课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[七上P111复习题3第2(1)(4)题改编]写出下列方程的解:(1)43-8x=3-112x,x=;(2)1-2𝑥3=3𝑥+17-3,x=.[答案](1)-23(2)6723课前双基巩固2.[七下P98习题8.2第5题改编](1)解方程组3(𝑥-1)=𝑦+5,5(𝑦-1)=3(𝑥+5),得;(2)解方程组2𝑢3+3𝑣4=12,4𝑢5+5𝑣6=715,得.[答案](1)𝑥=5,𝑦=7(2)𝑢=-32,𝑣=2课前双基巩固3.[七上P112复习题3第10题改编]一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元.试讨论并回答:(1)当时,购会员证与不购证付一样的钱;(2)当时,购会员证比不购证合算;(3)当时,不购会员证比购证合算.[答案](1)游泳次数为40次(2)游泳次数多于40次(3)游泳次数少于40次课前双基巩固题组二易错题【失分点】去分母时出现漏乘错误;列方程或方程组解应用题出现对题意理解不清导致的错误.4.在解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时,方程两边同时乘以6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+6x=3(3x+1)C.2(x-1)+x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(x+1)[答案]B课前双基巩固5.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为尺,竿子长为尺.[答案]2015[解析]设索长为x尺,竿长为y尺,依题意得:𝑥-𝑦=5,𝑦-12𝑥=5,解得𝑥=20,𝑦=15,故索长为20尺,竿子长为15尺.课堂考点探究探究一等式的概念及性质【命题角度】(1)辨别等式两个性质应用的正误;(2)根据等式的性质解决天平平衡问题.例1判断正误:(1)如果a=b,那么a+c=b-c;()(2)如果𝑎𝑐=𝑏𝑐,那么a=b;()(3)如果a=b,那么𝑎𝑐=𝑏𝑐;()(4)如果a=3,那么a2=3a2.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×[解析](1)利用等式性质1,两边都加c,得到a+c=b+c,所以错误;(2)利用等式性质2,两边都乘以c,得到a=b,正确;(3)因为c必须不为0,所以不正确;(4)因为a2=9,3a2=27,所以a2≠3a2,所以不正确.课堂考点探究针对训练1.[2018·河北]有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等.现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是()图5-1[答案]A[解析]设立方体的质量为x,圆柱体的质量为y,球体的质量为z.假设四个选项都是正确的,则有A中2x=3y,B中x+2z=2y+2z,C中x+z=2y+z,D中2x=4y.观察对比可知A选项和另外三个选项是矛盾的,故选A.课堂考点探究2.[2017·杭州]设x,y,c是实数,()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则𝑥𝑐=𝑦𝑐D.若𝑥2𝑐=𝑦3𝑐,则2x=3y[答案]B[解析]A.两边加不同的数,等式不成立;B.两边都乘以c,等式成立;C.c=0时,两边都除以c无意义,故等式不成立;D.两边乘以不同的数,故等式不成立.课堂考点探究探究二一元一次方程的解法例2(1)[2017·武汉]解方程:4x-3=2(x-1).【命题角度】(1)已知一元一次方程的解求参数的值;(2)解一元一次方程.解:(1)4x-3=2(x-1),去括号,得4x-3=2x-2,移项,得4x-2x=-2+3,合并同类项,得2x=1,系数化为1,得x=12.[方法模型]在去分母时,注意两点:(1)不要漏乘不含分母的项;(2)对分子添括号.(2)去分母,得2(2x+5)-24=3(x-3),去括号,得4x+10-24=3x-9,移项、合并同类项,得x=5.(2)解方程:2𝑥+53-4=𝑥-32.课堂考点探究针对训练[2018·攀枝花]解方程𝑥-32-2𝑥+13=1.解:去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号,得3x-9-4x-2=6,移项,得3x-4x=6+9+2,合并同类项,得-x=17,系数化为1,得x=-17.课堂考点探究探究三二元一次方程(组)的有关概念例3[2017·眉山]已知关于x,y的二元一次方程组2𝑎𝑥+𝑏𝑦=3,𝑎𝑥-𝑏𝑦=1的解为𝑥=1,𝑦=-1,则a-2b的值是()A.-2B.2C.3D.-3[答案]B[解析]由题意,得2𝑎-𝑏=3①,𝑎+𝑏=1②,①-②得,a-2b=2.【命题角度】(1)求二元一次方程的特殊解,如正整数解;(2)已知二元一次方程(组)的解,求方程(组)中的未知系数.课堂考点探究针对训练1.[2017·枣庄]已知𝑥=2,𝑦=-3是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=3的解,则a2-b2=.[答案]1[解析]∵𝑥=2,𝑦=-3是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=3的解,∴2𝑎-3𝑏=2,2𝑏-3𝑎=3,把这个方程组的两边分别相加、减,得a+b=-5,a-b=-15,∴a2-b2=(a+b)·(a-b)=(-5)×-15=1,故答案为1.课堂考点探究2.[2018·滨州]若关于x,y的二元一次方程组3𝑥-𝑚𝑦=5,2𝑥+𝑛𝑦=6的解是𝑥=1,𝑦=2,则关于a,b的二元一次方程组3(𝑎+𝑏)-𝑚(𝑎-𝑏)=5,2(𝑎+𝑏)+𝑛(𝑎-𝑏)=6的解是.[答案]𝑎=32,𝑏=-12[解析]∵关于x,y的二元一次方程组3𝑥-𝑚𝑦=5,2𝑥+𝑛𝑦=6的解是𝑥=1,𝑦=2,∴由关于a,b的二元一次方程组3(𝑎+𝑏)-𝑚(𝑎-𝑏)=5,2(𝑎+𝑏)+𝑛(𝑎-𝑏)=6可知𝑎+𝑏=1,𝑎-𝑏=2,解得𝑎=32,𝑏=-12.课堂考点探究探究四二元一次方程组的解法例4用指定方法解方程组:𝑥-2𝑦=-4,3𝑥+4𝑦=18.(1)代入法:解:𝑥-2𝑦=-4①,3𝑥+4𝑦=18②.(1)由①得x=2y-4③,把③代入②得(2y-4)+4y=18,解得y=3.把y=3代入③得x=2,则方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.[方法模型](1)当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时,用代入法较方便;(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较方便.(2)①×2得:2x-4y=-8③,②+③得:5x=10,解得x=2,把x=2代入①,得2-2y=-4,解得y=3,所以方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.(2)加减法:课堂考点探究针对训练1.[2018·包头]若a-3b=2,3a-b=6,则b-a的值为.2.解方程组:2𝑥=3-𝑦,①3𝑥+2𝑦=2.②[答案]1.-22.解:由①,得y=3-2x.③把③代入②,得3x+2(3-2x)=2,解得x=4.把x=4代入③,得y=-5.所以方程组的解是𝑥=4,𝑦=-5.课堂考点探究3.[2017·广州]解方程组:𝑥+𝑦=5,2𝑥+3𝑦=11.解:𝑥+𝑦=5①,2𝑥+3𝑦=11②.①×3,得3x+3y=15③,③-②,得x=4.将x=4代入①,得y=1.∴方程组的解为𝑥=4,𝑦=1.课堂考点探究4.[2018·嘉兴]用消元法解方程组𝑥-3𝑦=5①,4𝑥-3𝑦=2②时,两位同学的解法如下:解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②,得3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“×”.解:(1)解法一中的计算有误(标记略).(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.(2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2.所以原方程组的解是𝑥=-1,𝑦=-2.课堂考点探究探究五利用一次方程(组)解决生活实际问题【命题角度】(1)行程问题,包括相遇问题、追及问题等;(2)利润问题、利息问题及最优方案问题;(3)几何图形的面积、体积等问题.课堂考点探究例5[2017·徐州]4月9日上午8时,2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑,一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛,下面是两个孩子与记者的对话:图5-2根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.解:设今年妹妹x岁,哥哥y岁.根据题意得𝑥+𝑦=16,3(𝑥+2)+(𝑦+2)=34+2,解得:𝑥=6,𝑦=10,答:妹妹6岁,哥哥10岁.课堂考点探究[方法模型](1)用方程或方程组解决实际问题的关键是读懂题意,找出题中存在的等量关系列出方程;(2)找等量关系时,要抓住关键词语,如多、少、共、几分之几、倍等.设未知数时,可采取直接设元,也可以采取间接设元.课堂考点探究针对训练1.[2018·安徽]《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:“今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽,问城中家几何?”大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问城中有多少户人家?请解答上述问题.解:设城中有x户人家,由题意得x+13x=100,解得x=75.答:城中有75户人家.课堂考点探究2.[2018·苏州]某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费9400元.(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过200