（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 充要条件、全称量词

§1.2充要条件、全称量词与存在量词第一章集合与常用逻辑用语ZUIXINKAOGANG最新考纲1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件p是q的条件p⇒q且q⇏pp是q的条件p⇏q且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的条件p⇏q且q⇏p充分必要充分不必要知识梳理ZHISHISHULI必要不充分充要既不充分也不必要2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.∀∃命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立_____________________________________特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立_________________________________________3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个等价命题.()(3)全称命题一定含有全称量词.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()√√×√基础自测JICHUZICE123456题组二教材改编2.命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________________.123456存在一个正方形，这个正方形不是矩形3.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)充分不必要1234561234564.(2018·郑州质检)命题“∃x0∈R，－x0－10”的否定是A.∀x∈R，x2－x－1≤0B.∀x∈R，x2－x－10C.∃x0∈R，－x0－1≤0D.∃x0∈R，－x0－1≥0题组三易错自纠√x20x20x205.已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________.解析由已知，可得{x|2x3}{x|xa}，∴a≤2.123456(－∞，2]6.若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为_____.1∴m的最小值为1.123456解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.2题型分类深度剖析PARTTWO取α＝π3，β＝13π6，sinαsinβ，但αβ，必要性不成立.解析取α＝7π3，β＝π3，αβ成立，题型一充分、必要条件的判定例1(1)已知α，β均为第一象限角，那么“αβ”是“sinαsinβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√而sinα＝sinβ，sinαsinβ不成立.∴充分性不成立；师生共研故“αβ”是“sinαsinβ”的既不充分也不必要条件.(2)已知条件p：x1或x－3，条件q：5x－6x2，则q是p的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析由5x－6x2，得2x3，即q：2x3.所以q⇒p，p⇏q，所以q是p的充分不必要条件，故选A.充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.思维升华跟踪训练1(1)(2018·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.√(2)(2018·济南模拟)若集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xb，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是A.b≥2B.1b≤2C.b≤1D.b1解析∵A＝{x|1x2}，B＝{x|xb，b∈R}，∴A⊆B的充要条件是b≤1，∴b1是A⊆B的充分不必要条件，故选D.√命题点1全称命题、特称命题的真假例2(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是A.∀n∈R，n2≥nB.∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝mC.∀n∈R，∃m0∈R，D.∀n∈R，n2n对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.√题型二含有一个量词的命题多维探究m20n解析对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；(2)下列命题中的假命题是A.∀x∈R,2x－10B.∀x∈N*，(x－1)20C.∃x0∈R，lgx01D.∃x0∈R，tanx0＝2解析当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.√命题点2含一个量词的命题的否定例3(1)已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为A.∃x0∈R，－x0－1≥0B.∃x0∈R，－x0－10C.∀x∈R，ex－x－10D.∀x∈R，ex－x－1≥0解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.√0ex0ex0ex(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0，故选C.√(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立.(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定.思维升华跟踪训练2(1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是A.∃x0∈R，log2x0＝0B.∃x0∈R，cosx0＝1C.∀x∈R，x20D.∀x∈R,2x0解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x0，选项D为真命题，故选C.√解析因为3x0，所以3x＋11，则log2(3x＋1)0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0.故选B.(2)已知命题p：∃x0∈R，log2(＋1)≤0，则A.p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B.p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0C.p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D.p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)003x√题型三充分、必要条件的应用例4已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.师生共研解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.引申探究充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.思维升华跟踪训练3(1)若“x2m2－3”是“－1x4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.[－1,1]解析依题意，可得(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.例5已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_________.解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，题型四命题中参数的取值范围师生共研14，＋∞当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，12x由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是___________.引申探究12，＋∞对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.思维升华解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋152a0对任意实数x恒成立.跟踪训练4(1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是___________.56，＋∞152设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方.故Δ＝25－4×152a0，解得a56，即实数a的取值范围为56，＋∞.(2)已知c0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当函数f(x)＝恒成立.如果p和q有且只有一个是真命题，则c的取值范围为________________.0，12∪(1，＋∞)x∈12，2时，x＋1x1c逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质.核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI利用充要条件求参数范围例