（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.2 平面向量基本定理及坐标

§5.2平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量与复数ZUIXINKAOGANG最新考纲1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.不共线有且只有基底知识梳理ZHISHISHULIλ1e1＋λ2e22.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，＝.3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21AB→|AB→|(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12x1y2－x2y1＝01.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定.当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)在等边三角形ABC中，向量的夹角为60°.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成()(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()×√××√基础自测JICHUZICE123456AB→与BC→x1x2＝y1y2.√2.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.题组二教材改编123456(1,5)解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝______.解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.123456mn－12题组三易错自纠4.设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝___.1234560解析根据题意得AB→＝(3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).5.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝___________.(－7，－4)1234566.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝______.－6解析因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.1234562题型分类深度剖析PARTTWO例1如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.题型一平面向量基本定理的应用师生共研(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值.解由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b.所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用.思维升华跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为_____.34例2(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为A.(2,0)B.(－3,6)C.(6,2)D.(－2,0)题型二平面向量的坐标运算MN→√解析设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.师生共研(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝______.∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.－2解析由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴m＋n＝－2.平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.思维升华跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC→|＝2|BC→|，则x＋y＝________.－2或6题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.多维探究(3,3)A.－114B.12C.2D.114命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为解析因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c√得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝12，故选B.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).思维升华跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是_____.解析∵a＝(1,1)，b＝(2，x)，∴a＋b＝(3，x＋1)，3a－b＝(1,3－x)，∵a＋b与3a－b平行，∴3(3－x)－(x＋1)＝0，解得x＝2.2(2)已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是_____.－23解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2).∵A，B，C三点共线，∴AB→，AC→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.3课时作业PARTTHREE1.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为A.(－8,1)B.－1，－32C.1，32D.(8，－1)√基础保分练12345678910111213141516解析设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2).而12MN→＝12(－8,1)＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12，解得x＝－1，y＝－32，∴P－1，－32.故选B.2.(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB→＝DC→＝(2,0)，AD→＝(1,1)，则AC→＋BC→等于A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)解析AC→＝AD→＋DC→＝(3,1)，12345678910111213141516√又BD→＝AD→－AB→＝(－1,1)，则BC→＝BD→＋DC→＝(1,1)，所以AC→＋BC→＝(4,2).故选B.3.(2018·海南联考)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量a与b同向，则x等于A.－2B.2C.±2D.0解析由向量a与b共线得－x2＝－4，所以x＝±2.又向量a与b同向，所以x＝2.故选B.√123456789101112131415164.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)解析由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.√123456789101112131415165.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝π4，且|OC|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ等于A.22B.2C.2D.42解析因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)，又OC→＝λOA→＋μOB→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.√123456789101112131415166.(2019·蚌埠期中)已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为A.π6B.π4C.π3D.π2√12345678910111213141516解析AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，根据题意知AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54.7.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为_____.12345678910111213141516－548.设向量a，b满足|a|＝b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为__________.解析∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ0).1234567891011121314151625，(－4，－2)∵|a|＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2).9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝______.解析由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝121234567891011121314151612.10.已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.k≠1解析若点A，B，C能构成三角形，12345678910111213141516则向量AB→，AC→不共线.∵AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k