（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 二项分布与

§12.4二项分布与正态分布第十二章概率、随机变量及其分布ZUIXINKAOGANG最新考纲1.在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.通过实际问题，借助直观(如实际问题的直方图)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做________，用符号______来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.(2)条件概率具有的性质①____________；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_____________.1.条件概率及其性质知识梳理ZHISHISHULIPABPAnABnA条件概率P(B|A)0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)2.相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件____________________.(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝____，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝________.(3)若A与B相互独立，则______，与_______，______也都相互独立.(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则______________.A与BA与BA与BP(B)P(A)P(B)A，B是相互独立事件A与B相互独立3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝__________________________，此时称随机变量X服从________，记为__________，并称p为成功概率.Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)二项分布X～B(n，p)4.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__，D(X)＝_______.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝___，D(X)＝________.pp(1－p)npnp(1－p)5.正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ0，μ∈R).我们称函数φμ，σ(x)的图象为__________________，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴_____，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线_____对称；③曲线在_____处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为__；1σ2π22()21e2πxu正态分布密度曲线上方x＝μx＝μ1⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ_____，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ_____，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.μ越小越大(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布，记作___________.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝______；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝______；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝_______.ʃbaφμ，σ(x)dxX～N(μ，σ2)0.68260.95440.99741.条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率.2.“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.()(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.()××基础自测JICHUZICE1234567×√(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.()(6)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.()123456√√7题组二教材改编12345672.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56√解析设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.12345673.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为解析设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，A.310B.13C.38D.29√则P(AB)＝C12C110×C13C19＝115，P(A)＝C12C110＝15，所以P(B|A)＝PABPA＝13.4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，则c＝.解析∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，123456743∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝43.题组三易错自纠5.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为12345672334A.12B.512C.14D.16√解析因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝23×14＋13×34＝512.A.18B.14C.25D.1212345676.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于√解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝PABPA＝14.12345677.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ等于A.1B.2C.4D.不能确定解析当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ0，即ξ4，根据正态曲线的对称性，12√当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一条件概率例1(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为.师生共研499(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B).解如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19，P(A|B)＝nABnB＝14.(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.思维升华PABPAnABnA跟踪训练1已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为A.310B.29C.78D.79√题型二独立重复试验与二项分布命题点1独立事件的概率多维探究例2某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；3411214(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解有0个家庭回答正确的概率为P0＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝14×58×13＝596，有1个家庭回答正确的概率为P1＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－596－724＝2132.命题点2独立重复试验例3一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；12(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.命题点3二项分布例4某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；解令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B5，0.8.“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C25×0.82×1－0.83＝10×0.64×0.008≈0.05.(2)5次预报中至少有2次准确的概率；解“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05×0.80×1－0.85－C15×0.8×1－0.84＝1－0.00032－0.0064≈0.99.(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.解“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C14×0.8×1－0.83×0.8≈0.02.(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法①首先判断几个事件的发生是否相互独立.②求相互独立事件同时发生的概率的方法(ⅰ)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(ⅱ)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得