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微专题四压轴题的破解策略第三章导数及其应用[经验分享]通过对近几年以函数与导数为核心命制的压轴题的分析与研究，发现大多数需构造辅助函数才能顺利解决，构造辅助函数对学生的创造性与创新性思维能力的要求较高，那么辅助函数的构造有规律可循吗？构造辅助函数解决压轴题的具体策略有哪些呢？策略一观察分析构造观察是科学研究的重要方法，也是数学解题的首要心理活动，更是构造辅助函数最为直接的策略.例1(2016·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；解a的取值范围为(0，＋∞)；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x22.点评此题的压轴问以函数零点为依托，看似证明不等式，实则是极值右偏问题，解决的核心是通过观察分析构造辅助函数F(x)＝f(2－x)－f(x)，建立抽象不等式“f(x2)f(2－x1)”，再由函数的单调性去解决.策略二整体构建整体思路是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体构造辅助函数就是立足这一思想来解决函数综合题的一种策略.例2(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；解a＝1；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2f(x0)2－2.策略三局部构造若问题的整体结构比较复杂，使得正面解决很困难时，可以考虑将复杂的整体看成几个部分，实施局部构造辅助函数，从局部突破，从而达到解决问题的目的.例3(2016·全国Ⅱ)(1)讨论函数f(x)＝的单调性，并证明当x0时，(x－2)ex＋x＋20；解略；x－2x＋2ex(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域.ex－ax－ax2点评此道压轴题g(x)的导函数结构比较复杂，于是从局部实施突破，构造辅助函数.这种构造方式比较常见，如2016年江苏卷19题，2013年陕西卷理科压轴题等.例4(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；解f′(x)＝2ax2＋2a＋1x＋1x＝2ax＋1x＋1x.当a≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)单调递增.若a0，则f(x)在0，－12a单调递增，在－12a，＋∞单调递减.策略四多次构造有时第一次构造辅助函数并不能达到问题的解决，还需要第二次甚至更多次的构造才能解决问题.(2)当a0时，证明f(x)≤－34a－2.策略五和差构造和差法常用于比较大小、构造对偶式等，其实也可用来构造辅助函数.例5(2016·全国Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，解略；1x－1lnxx；解略；(3)设c1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)xcx.点评和差构造辅助函数的方法在每年高考压轴题中运用广泛，如2016年四川理科压轴、2013年辽宁理科压轴题等.策略六变参分离构造若条件中含有参数，要探究参数的取值范围，此时可以考虑将参数与其他变量分离，然后构造辅助函数求解参数的取值范围.例6(2016·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)略点评此题将主元与参数变参分离后构造辅助函数，再对辅助函数求导探究单调性或最值，参数的范围便自然得到.策略七综合运用例7已知函数f(x)＝(1)求f(x)的单调区间；解函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)；1－x1＋x2ex.(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x20.点评此道压轴题的压轴问要证的不等式本质上是极值右偏问题，解答时需要灵活的将作差构造和局部构造两种方法综合运用才能顺利解决.掌握数学就意味着必须要善于解题，中学数学教学的首要任务之一就是要加强解题训练，而人的高明之处在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他就会绕过去，当原来的问题看起来似乎不好解时，就会想出一个合适的辅助问题去解决原问题，这种方法正是解决高考函数综合问题的良策与通法，通过构造辅助函数统一的处理这些问题时，其实我们已经站在了更高的层面，不再仅仅追求千奇百怪“诡异”的解法，而是理解了这些问题的共性.在统一解决的同时，给人一种思维清晰、神清气爽的良好教学感觉.