（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ微专题一 多元变量的最

微专题一多元变量的最值问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ[经验分享]在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法.一、代入减元例1设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.解由2x＋8y－xy＝0得y＝2xx－8，因为x，y∈R＋，所以x8，所以x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－8＋16x－8＝x＋2＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8·16x－8＋10＝18，当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，取“＝”号.所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可以得到y＝代入x＋y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的.2xx－8，二、等量减元例2设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为A.0B.1C.94D.3解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)√则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－1y－12＋1≤1.当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，点评此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量x，y，z之间的关系，进而达到减元的目的.其实，由xyz变到xyx2－3xy＋4y2就已经应用到了代入消元，再由xyx2－3xy＋4y2变到1xy＋4yx－3仍然用到了整体消元的思想(把xy当做整体)，从而寻求到了xyz取最大值时变量x，y，z之间的关系.最后由2x＋1y－2z变到－1y2＋2y应用到了x，y，z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题.三、换元减元例3已知θ∈，不等式2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ－m＋1≥0恒成立，求实数m的取值范围.0，π2点评此题中的sinθcosθ，sinθ＋cosθ若不加处理难以将变量统一起来.但是，观察到sinθcosθ与sinθ＋cosθ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的.四、整体减元例4已知函数f(x)＝xlnx－·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a的取值范围；a2解0a12，过程略.(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2e2.点评此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在.x1x2以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器.