（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9 函数模型及其应

§2.9函数模型及其应用第二章函数概念与基本初等函数ⅠZUIXINKAOGANG最新考纲1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.几类函数模型知识梳理ZHISHISHULI函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)kx函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调_____单调_____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2.三种函数模型的性质递增递增y轴x轴请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使logax0.()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()××××基础自测JICHUZICE1234560xaxn07题组二教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元√12345673.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.18当x＝18时，L(x)有最大值.解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，1234561274.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为.解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，1234563∴当x＝3时，y最大.75.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是.[0,26]解析令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26].1234567123456题组三易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为.p＋1q＋1－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝1＋p1＋q－1.77.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到只.200解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.12345672题型分类深度剖析PARTTWO1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是题型一用函数图象刻画变化过程解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.自主演练√2.(2018·广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.√3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油√判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华题型二已知函数模型的实际问题例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为分钟.师生共研3.75(2)某公司招聘员工，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数.若面试对象人数为60，则该公司的拟录用人数为A.15B.40C.25D.70√4x，1≤x≤10，2x＋10，10x≤100，1.5x，x100，解析当1≤x≤10时，y≤40；当x100时，y150.因此所求人数x∈(10,100]，由2x＋10＝60，得x＝25，故选C.求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.思维升华跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是万元.2500则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元.120解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.多维探究19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.A.y＝2x－2B.y＝12(x2－1)C.y＝log2xD.y＝(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.0112logx√命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原来的(1)求每年砍伐面积的百分比；14，22.解设每年降低的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即1210m＝1212，即m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？则n年后剩余面积为22a(1－x)n.引申探究解设从今年开始，以后砍了n年，令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，1210n≥1232，即n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.命题点3构造y＝x＋ax(a0)型函数5∴年平均利润yx＝12－x＋25x，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立.解析根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝米.3323解析由题意可得BC＝18x－x2(2≤x6)，∴y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝63.当且仅当18x＝3x2(2≤x6)，即x＝23时等号成立.命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；400－6x，0x≤40，7400x－40000x2，x40.(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解①当0x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②当x40时，W＝－40000x－16x＋7360，由于40000x＋16x≥240000x×16x＝1600，当且仅当40000x＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值5760.综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6104万美元.构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.思维升华跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少至少应过滤次才能达到市场要求.(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)13，8解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%1－13n≤0.1%，即23n≤120，所以nlg23≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.解析由题意，总利润y＝