（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6 对数与对数函数

§2.6对数与对数函数第二章函数概念与基本初等函数ⅠZUIXINKAOGANG最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对数在简化运算中的作用.2.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作____，其中叫做对数的底数，叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(MN)＝；②loga＝；③logaMn＝(n∈R).x＝logaNaN知识梳理ZHISHISHULIlogaM＋logaNMNlogaM－logaNnlogaM(2)对数的性质①＝；②logaaN＝(a0，且a≠1).(3)对数的换底公式logab＝(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0).NNlogaNalogcblogca3.对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(1)________值域(2)___性质(3)过定点，即x＝1时，y＝0(4)当x1时，；当0x1时，____(5)当x1时，；当0x1时，____(6)在(0，＋∞)上是_______(7)在(0，＋∞)上是_______4.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.(0，＋∞)R(1,0)y0y0y0y0增函数减函数logaxy＝x1.根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？提示logab·logba＝1；②化简.【概念方法微思考】logmnab提示＝logab.logmnabnm2.如图给出4个对数函数的图象.比较a，b，c，d与1的大小关系.提示0cd1ab.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.()(3)函数y＝与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限.()××√√基础自测JICHUZICE123456ln1＋x1－x1a，－1，7题组二教材改编2.log29·log34·log45·log52＝.123456273.已知a＝213－，b＝log213，c＝13，则a，b，c的大小关系为.cab∴cab.12345612log解析∵0a1，b0，c＝13＝log231.12log74.函数y＝的定义域是.12，1∴12x≤1.12345623log(21)x解析由(2x－1)≥0，得02x－1≤1.23log∴函数y＝的定义域是12，1.23log(21)x75.已知b0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是A.d＝acB.a＝cdC.c＝adD.d＝a＋c123456题组三易错自纠√76.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是A.a1，c1B.a1,0c1C.0a1，c1D.0a1,0c1解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0a1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0c1.123456√77.若1(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是.123456loga340，34∪(1，＋∞)解析当0a1时，loga34logaa＝1，∴0a34；当a1时，loga34logaa＝1，∴a1.∴实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞).72题型分类深度剖析PARTTWO1.设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于A.10B.10C.20D.100题型一对数的运算√解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，自主演练则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.解析原式＝(lg2－2－lg52)×10012＝lg122×52×102.计算：lg14－lg25÷10012－＝.＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.－203.计算：1－log632＋log62·log618log64＝.解析原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.14.设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝.6解析∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)＝＝2＋4＝6.339log2log2log43929＋＝＋对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.思维升华题型二对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为√解析先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示.师生共研(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为A.1B.2C.3D.4√作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点.解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即方程|log0.5x|＝12x的解的个数，即函数y＝|log0.5x|与函数y＝12x图象交点的个数，(3)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是A.0，22B.22，1C.(1，2)D.(2，2)√解析若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.若本例(3)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为.引申探究0，120，22(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.思维升华跟踪训练1(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是解析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.√(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是.(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.log2x，x0，3x，x≤0，A.abcB.bacC.cabD.acb题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小多维探究例2(2018·潍坊模拟)已知a＝2323，b＝3423，c＝23，则a，b，c的大小关系是34log√命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为.解析原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，x＝5即x2－1＝4，解得x＝±5，又x1，所以x＝5.(2)已知不等式logx(2x2＋1)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是.13，12解析原不等式⇔①0x1，2x2＋13x1，或②x1，2x2＋13x1，解不等式组①得13x12，不等式组②无解.所以实数x的取值范围为13，12.命题点3对数函数性质的综合应用例4(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是A.(－∞，4)B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4)解析由题意得x2－ax－3a0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，√则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f(x)＝log2x·log(2x)的最小值为.－14解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.2(3)已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是.(1,2]解析当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，a－1x＋4－2a，x1，1＋log2x，x≥1，可得a－10，a－1＋4－2a≥1，解得a∈(1,2].利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.思维升华跟踪训练2(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.acbB.bcaC.cbaD.cab解析a＝log32log33＝1，b＝log52log55＝1.又c＝log23log22＝1，所以c最大.由1log23log25，，即ab，所以cab.√得1log231log25(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是.解析当a1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)1，且8－2a0，1，83解得1a83.当0a1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)1，且8－2a0.∴a4，且a4，故不存在.综上可知，实数a的取值范围是1，83.比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；